Un esercizio di geometria analitica ..
lo so che e' 26 dicembre e che probabilmente nessuno avrà voglia di rispondere a un tale testone ma tento comunque ... 
Data la retta $s=\{(x-y=0);(y-z=0):}$
e la retta $r=\{(x-y+2z+2=0);(x-2y-2z):}$
e il piano $alpha:2x-3y+2=0$
trovare la retta $b$ appartenente al piano $alpha$, perpendicolare a $r$ ed incidente a $s$
io ho fatto cosi:
ho preso il fascio di piani con asse la retta s
$lambda(x-y)+omega(y-z)=0$ raccogliendo rispetto alle incognite
$lambdax+(omega-lambda)y+omegaz=0$
ora trovo il vettore direzione di $r$ che e'
$V_r(6,4,-1)$
dal fascio di piani trovato seleziono il piano perpendicolare a r, cioè il piano che ha coefficienti (a,b,c) uguali alle componenti del vettore V_r
per cui
$lambda=6$ $omega=1$ e qui casca l'asino $omega-lambda=4$ che non e' possibile perché 1-6 non fa 4 ...
il mio intento era trovare il piano del fascio perché poi la retta $b$ sarebbe stata l'intersezione tra $alpha$ e il piano trovato ...
mi chiedo che ho sbagliato? :s
Data la retta $s=\{(x-y=0);(y-z=0):}$
e la retta $r=\{(x-y+2z+2=0);(x-2y-2z):}$
e il piano $alpha:2x-3y+2=0$
trovare la retta $b$ appartenente al piano $alpha$, perpendicolare a $r$ ed incidente a $s$
io ho fatto cosi:
ho preso il fascio di piani con asse la retta s
$lambda(x-y)+omega(y-z)=0$ raccogliendo rispetto alle incognite
$lambdax+(omega-lambda)y+omegaz=0$
ora trovo il vettore direzione di $r$ che e'
$V_r(6,4,-1)$
dal fascio di piani trovato seleziono il piano perpendicolare a r, cioè il piano che ha coefficienti (a,b,c) uguali alle componenti del vettore V_r
per cui
$lambda=6$ $omega=1$ e qui casca l'asino $omega-lambda=4$ che non e' possibile perché 1-6 non fa 4 ...
il mio intento era trovare il piano del fascio perché poi la retta $b$ sarebbe stata l'intersezione tra $alpha$ e il piano trovato ...
mi chiedo che ho sbagliato? :s
Risposte
La retta s interseca il piano \(\displaystyle \alpha \) nel punto \(\displaystyle A(2,2,2) \) e quindi la retta b deve passare per A. Ne segue che le equazioni di b sono del tipo
(1) \(\displaystyle \begin{cases} x=2+lt\\y=2+mt\\z=2+nt\end{cases}\)
dove (l,m,n) è il vettore direzionale di b.
D'altra parte la retta b deve essere normale alla normale n al piano \(\displaystyle \alpha \) perché per ipotesi b appartiene a tale piano e normale ad r sempre per ipotesi. Pertanto deve aversi:
\(\displaystyle (l,m,n)= (2,-3,0)\bigwedge (6,4,-1)=(3,2,26)\)
dove (2,-3,0) e (6,4,-1) sono i vettori direzionali della normale n al piano \(\displaystyle \alpha \) e della retta r rispettivamente.
Sostituendo i valori trovati nella (1) si hanno le equazioni di b :
\(\displaystyle \begin{cases} x=2+3t\\y=2+2t\\z=2+26t\end{cases}\)
(1) \(\displaystyle \begin{cases} x=2+lt\\y=2+mt\\z=2+nt\end{cases}\)
dove (l,m,n) è il vettore direzionale di b.
D'altra parte la retta b deve essere normale alla normale n al piano \(\displaystyle \alpha \) perché per ipotesi b appartiene a tale piano e normale ad r sempre per ipotesi. Pertanto deve aversi:
\(\displaystyle (l,m,n)= (2,-3,0)\bigwedge (6,4,-1)=(3,2,26)\)
dove (2,-3,0) e (6,4,-1) sono i vettori direzionali della normale n al piano \(\displaystyle \alpha \) e della retta r rispettivamente.
Sostituendo i valori trovati nella (1) si hanno le equazioni di b :
\(\displaystyle \begin{cases} x=2+3t\\y=2+2t\\z=2+26t\end{cases}\)
ma come facevo a sapere a priori che s intersecava $alpha$ in A(2,2,2)?
Insomma avrei dovuto farmelo venire in mente immagino invece mi e' venuto in mente quel metodo bislacco... comunque non riesco a comprendere perché il metodo proposto da me quale enorme falla teorica abbia ( non funziona quindi deve avere un falla teorica)... qualcuno saprebbe dirmi se opportunamente modificato potrebbe funzionare?
insomma non c'era un modo sfruttando i fasci senza usare le equazioni parametriche?
Insomma avrei dovuto farmelo venire in mente immagino invece mi e' venuto in mente quel metodo bislacco... comunque non riesco a comprendere perché il metodo proposto da me quale enorme falla teorica abbia ( non funziona quindi deve avere un falla teorica)... qualcuno saprebbe dirmi se opportunamente modificato potrebbe funzionare?
insomma non c'era un modo sfruttando i fasci senza usare le equazioni parametriche?
Tieni presente che la retta b cercata deve stare in \(\displaystyle \alpha \) ed incidere la retta s. Pertanto l'intersezione tra b ed s deve stare anch'essa in \(\displaystyle \alpha \) e non può che essere il punto comune ad s e ad \(\displaystyle \alpha \).Per trovare poi il punto A comune basta risolvere il sistema tra l'equazione di \(\displaystyle \alpha \) e le equazioni della retta s. Per il resto, devo confessarti ( con vergogna, 
) che del tuo metodo non sono riuscito a capirci molto. Quello che mi sento di consigliarti nello svolgimento di questi esercizi è di fare uno schizzo preventivo .
) che del tuo metodo non sono riuscito a capirci molto. Quello che mi sento di consigliarti nello svolgimento di questi esercizi è di fare uno schizzo preventivo .
proprio tramite lo schizzo ero giunto a quella conclusione XD
l'idea era di prendere il fascio di piani avente per asse la retta $s$
tale fascio di piani posso scriverlo come combinazione lineare dei due piani che intersecati danno la retta $s$, per cui facendo una combinazione lineare del piano $x-y=0$ e del piano $y-z=0$ ottengo un bel fascio di piani al variare di due parametri $omega$ e $lambda$
$lambda(x-y)+omega(y-z)=0$
questa equazione rappresenta il mio fascio di piani proprio avente come asse la retta $s$
Trovato tale fascio di piani l'intenzione era di selezionare tra tutti i piani del fascio quello perpendicolare a $r$
trovato il piano del fascio perpendicolare a $r$ la retta $b$ cercata non e' altro che l'intersezione del piano del fascio trovato e del piano $alpha$
spero di essere riuscito a tirar fuori piu o meno quello che avevo in testa XD
il punto su cui ho dubbi e' come selezionare il fantomatico piano perpendicolare del mio fascio con asse $s,$
l'idea era di prendere il fascio di piani avente per asse la retta $s$
tale fascio di piani posso scriverlo come combinazione lineare dei due piani che intersecati danno la retta $s$, per cui facendo una combinazione lineare del piano $x-y=0$ e del piano $y-z=0$ ottengo un bel fascio di piani al variare di due parametri $omega$ e $lambda$
$lambda(x-y)+omega(y-z)=0$
questa equazione rappresenta il mio fascio di piani proprio avente come asse la retta $s$
Trovato tale fascio di piani l'intenzione era di selezionare tra tutti i piani del fascio quello perpendicolare a $r$
trovato il piano del fascio perpendicolare a $r$ la retta $b$ cercata non e' altro che l'intersezione del piano del fascio trovato e del piano $alpha$
spero di essere riuscito a tirar fuori piu o meno quello che avevo in testa XD
il punto su cui ho dubbi e' come selezionare il fantomatico piano perpendicolare del mio fascio con asse $s,$
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