Immagine e nucleo di un'applicazione lineare.

[fabb91]

Sto riscontrando dei problemi nella risoluzione del seguente esercizio di algebra lineare.

Sia f un’applicazione lineare di $C^3$ in $C^3$ che porti rispettivamente:

(1,i,1+i) ---->(1, 1, 1)
(0, 1, i) ----->(0, 1, i)
(1, 1, 0) -----> (1,0,1-i)

Si trovi Im f e Ker f.

R. : Im f = $z_1$ (1,1,1) + $z_2$ (0,1,i) con $z_1$ , $z_2$ $in$ C. Ker f = z (0, i-2, 1) con z $in$ C.
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L'immagine l'ho trovata da solo.
E' bastato triangolarizzare la matrice
\begin{pmatrix}
1&0&1\\
1&1&0\\
1&i&1-i
\end{pmatrix}

E trovare che il terzo vettore collonna è combinazione lineare degli altri 2.
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Mentre per il nucleo sto letteralmente brancolando nel buio....

Qualcuno mi può dare una mano?

[weblan]

Tutte le informazioni le puoi ricavare dalla matrice che hai scritto.

Le colonne della matrice sono un sistema di generatori di $Imf$. Puoi constatare che il determinante è nullo e poichè le prime due colonne sono indipendenti si può concludere che $Imf$=[$(1,1,1),(0,1,i)$].

Sempre la matrice assegnata ti dà informazioni sul nucleo.

Studia il sistema lineare omogeneo associato alla matrice scritta.

Troverai che lo spazio delle soluzioni avrà dimensione $1$ e una sua base è la seguente:[$(1,-1,-1)$].
Quelle scritte sono le componenti del generatore di $Kerf$. Se inserisci tali componenti come coordinate della base assegnata in partenza trovi proprio il vettore che genera $kerf$.