Esercizi vari di algebra
Buondì! Avrei alcune domande:
1) Si determini, se possibile, un'applicazione lineare $ f: RR^3 \rightarrow RR^2 $ tale che $ (1,1) notin Im(f) $.
Fissando nel dominio e nel codominio la base canonica, ho scritto direttamente la matrice associata. Va bene quella che ho scelto?
$ A= ((7,3/2,14),(5,0,10)) $
2) Sia $ V $ uno spazio vettoriale e sia $ X $ un sottoinsieme finito di $ V $. Si dimostri che se $ X $ contiene il vettore nullo, allora i vettori di $ X $ sono linearmente dipendenti.
Sinceramente, non sono nemmeno sicura da dove partire per dimostrare questo...
3) Si dimostri che in uno spazio vettoriale un insieme di generatori è base se e solo se ogni vettore si esprime in modo unico come combinazione lineare dei generatori dati.
Allora, dato $ span{v_1 , v_2 , ... , v_n} = V $, quello che l'esercizio mi chiede di verificare è che se
$ {(v_1 = \lambda_1 v_2 + ... + \lambda_{n-1} v_n),(v_2 = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_3 + ... + \lambda_{n-1} v_n ),(...),(v_n = \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_{n-1} v_{n-1}):} $
ha un'unica soluzione, allora $v_1 , v_2 , ... , v_n $ è anche un base. Giusto?
Affinché siano una base, devono essere linearmente indipendenti. Dunque, non dovrebbe essere possibile esprimerli come combinazione lineare degli altri... giusto? E' un tranello della prof.?
1) Si determini, se possibile, un'applicazione lineare $ f: RR^3 \rightarrow RR^2 $ tale che $ (1,1) notin Im(f) $.
Fissando nel dominio e nel codominio la base canonica, ho scritto direttamente la matrice associata. Va bene quella che ho scelto?
$ A= ((7,3/2,14),(5,0,10)) $
2) Sia $ V $ uno spazio vettoriale e sia $ X $ un sottoinsieme finito di $ V $. Si dimostri che se $ X $ contiene il vettore nullo, allora i vettori di $ X $ sono linearmente dipendenti.
Sinceramente, non sono nemmeno sicura da dove partire per dimostrare questo...
3) Si dimostri che in uno spazio vettoriale un insieme di generatori è base se e solo se ogni vettore si esprime in modo unico come combinazione lineare dei generatori dati.
Allora, dato $ span{v_1 , v_2 , ... , v_n} = V $, quello che l'esercizio mi chiede di verificare è che se
$ {(v_1 = \lambda_1 v_2 + ... + \lambda_{n-1} v_n),(v_2 = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_3 + ... + \lambda_{n-1} v_n ),(...),(v_n = \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_{n-1} v_{n-1}):} $
ha un'unica soluzione, allora $v_1 , v_2 , ... , v_n $ è anche un base. Giusto?
Affinché siano una base, devono essere linearmente indipendenti. Dunque, non dovrebbe essere possibile esprimerli come combinazione lineare degli altri... giusto? E' un tranello della prof.?
Risposte
"mozzarella_girl":
2) Sia $ V $ uno spazio vettoriale e sia $ X $ un sottoinsieme finito di $ V $. Si dimostri che se $ X $ contiene il vettore nullo, allora i vettori di $ X $ sono linearmente dipendenti.
Sinceramente, non sono nemmeno sicura da dove partire per dimostrare questo...
Buondì a te. Ti dò l'idea lasciandoti il compito di formalizzarla:
Se consideri $V = RR^2$ e $X = \{ \bb{0} , (0,1),(1,0) \}$, allora
\[ \lambda_1 \textbf{0} + \lambda_2 (0,1) + \lambda_3 (1,0) = 0 \]
non è soddisfatta solo per $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0$, poiché su $\lambda_1$ hai qualche libertà in più...
"mozzarella_girl":
1) Si determini, se possibile, un'applicazione lineare $ f: RR^3 \rightarrow RR^2 $ tale che $ (1,1) notin Im(f) $.
Fissando nel dominio e nel codominio la base canonica, ho scritto direttamente la matrice associata. Va bene quella che ho scelto?
$ A= ((7,3/2,14),(5,0,10)) $
Perché hai scelto questa strana applicazione lineare? Un esempio più lampante è l'applicazione nulla.
"mozzarella_girl":
3) Si dimostri che in uno spazio vettoriale un insieme di generatori è base se e solo se ogni vettore si esprime in modo unico come combinazione lineare dei generatori dati.
[...]
Affinché siano una base, devono essere linearmente indipendenti. Dunque, non dovrebbe essere possibile esprimerli come combinazione lineare degli altri... giusto? E' un tranello della prof.?
No, attenzione. Dire che ogni vettore si scrive come combinazione lineare dei generatori è diverso rispetto a dire che ogni generatore si esprime come combinazione lineare degli altri generatori (che non è quello che ti dà l'esercizio).
In ogni caso è importante -ai fini della dimostrazione- il fatto che si esprimano "in modo unico"...
Se consideri V=R2 e X={0,(0,1),(1,0)}, allora
λ10+λ2(0,1)+λ3(1,0)=0
non è soddisfatta solo per λ1=λ2=λ3=0, poiché su λ1 hai qualche libertà in più...
Ok, questo è chiaro. Dopotutto posso assegnare a $\lambda_1$ qualsiasi valore e se $\lambda_2 = \lambda_3 = 0$ la combinazione si annulla in ogni caso. Grazie!
Perché hai scelto questa strana applicazione lineare? Un esempio più lampante è l'applicazione nulla.
Giusto.
Ma la mia va bene, comunque? No, attenzione. Dire che ogni vettore si scrive come combinazione lineare dei generatori è diverso rispetto a dire che ogni generatore si esprime come combinazione lineare degli altri generatori (che non è quello che ti dà l'esercizio).
In ogni caso è importante -ai fini della dimostrazione- il fatto che si esprimano "in modo unico"...
Ok, ho capito dove ho sbagliato: ho pensato che "vettore" si riferisse a "generatore". Però, per la dimostrazione, devo pensarci ancora per un po'.
Grazie comunque per la velocità di risposta!
Figurati.
Per il punto 2) non so. Bisogna vedere se il sistema lineare non omogeneo $A x = ((1),(1))$ ammette soluzione. Sai come trattarlo?
Per il punto 2) non so. Bisogna vedere se il sistema lineare non omogeneo $A x = ((1),(1))$ ammette soluzione. Sai come trattarlo?
Per il punto 2) non so. Bisogna vedere se il sistema lineare non omogeneo Ax=(11) ammette soluzione. Sai come trattarlo?
Si... dovrebbe essere:
${(7x_1 + 3/2 x_2 + 14 x_3 = 1),(5x_1 + 10 x_3 = 1) :}$
Riducendo (credo di aver fatto bene i calcoli) viene fuori:
${(x_1),(x_2=-14/15),(x_3=-(x_1)/2 + 1/10):}$
con $x_1$ variabile libera. Dunque, il sistema ha soluzione. Da cui si deduce che l'applicazione lineare da me scelta non soddisfa le richieste dell'esercizio...
Almeno adesso so come verificarne la correttezza.
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