Insieme dei naturali chiuso o aperto?

[Seldon1]

raga ma l'insieme dei numeri naturali è chiuso o aperto?io penso sia chiuso perché il suo complementare cioè Q U Ir con Ir insieme degli irrazionali è un aperto...(basta prendere una palla con centro "i" appartenente al complementare di N e raggio r arbitrariamente piccolo ed ogni intervallo (n1,n2) contenente i la palla è aperta)...sbaglio?

[Seldon1]

ho forse trovato una formulazione migliore per dimostrare la mia tesi..cioè che essendo la chiusura di un insieme uguale all'unione dell'insieme col suo insieme derivato,ed essendo N formato solo da punti isolati,ciò vuol dire che l'insieme derivato di N è vuoto,dunque la chiusura di N corrisponde ad N stesso,ergo N è un insieme chuso....va bene?

[perplesso1]

Il complemento di $NN$ è l'unione degli intervalli aperti $(- \infty, 0) \cup \bigcup_{n \in NN} (n,n+1)$ che è aperto (perchè unioni arbitrarie di aperti sono aperte), quindi $NN$ è chiuso. Oppure ... prendi un numero reale positivo $r \notin NN$, allora $r$ è certamente compreso fra due naturali consecutivi $n < r < n+1$ quindi detto $\delta = min{r-n,(n+1)-r}$ l'intervallo $(r-\delta,r+\delta)$ è un aperto che contiene $r$ ed è disgiunto da $NN$. Pertanto $NN$ contiene tutti i suoi punti limite cioè è chiuso.

Ciao.