Diagonalizzazione matrice
Sto svolgendo alcune prove di esame di algebra lineare e mi sono ritrovato a dover affrontare un esercizio in cui mi si chiede di diagonalizzare questa matrice:
$((1,0,0),(1,1,1),(1,1,-1))$
determinando autovalori e autovettori. Poi mi si chiede di scrivere la matrice $P^-1$ tale che la matrice diagonale sia $D= P^-1*A*P$.
Inizio col calcolo del polinomio caratteristico, che secondo i miei calcoli è $(1-\lambda)*(\lambda^2 -2)$, da cui gli autovalori sono $\lambda=1 $e $\lambda= + o - sqrt(2)$.
Nel calcolare gli autospazi con i radicali mi esce fuori che l'autospazio è generato dal vettore nullo, il che è impossibile.
Questo vuole dire che la matrice non è diagonalizzabile? Perché mi chiede poi di calcolare la $P^-1$?
Non so se sbaglio in qualche calcolo o proprio in qualche ragionamento. Grazie mille per l'aiuto
$((1,0,0),(1,1,1),(1,1,-1))$
determinando autovalori e autovettori. Poi mi si chiede di scrivere la matrice $P^-1$ tale che la matrice diagonale sia $D= P^-1*A*P$.
Inizio col calcolo del polinomio caratteristico, che secondo i miei calcoli è $(1-\lambda)*(\lambda^2 -2)$, da cui gli autovalori sono $\lambda=1 $e $\lambda= + o - sqrt(2)$.
Nel calcolare gli autospazi con i radicali mi esce fuori che l'autospazio è generato dal vettore nullo, il che è impossibile.
Questo vuole dire che la matrice non è diagonalizzabile? Perché mi chiede poi di calcolare la $P^-1$?
Non so se sbaglio in qualche calcolo o proprio in qualche ragionamento. Grazie mille per l'aiuto
Risposte
Ciao,
veniamo al dunque,la matrice caratteristica è:
$A-lambdaI=((1-lambda,0,0),(1,1-lambda,1),(1,1,-1-lambda))$
Hai trovato il polinomio caratteristico corretto, e hai trovato i $3$ autovalori:
$lambda_1=1$
$lambda_2=sqrt(2)$
$lambda_3=-sqrt(2)$
Il fatto che siano $3$ è un'ottima cosa infatti poichè stiamo diagonalizzando un endomorfismo in $RR^3$ e abbiamo $3$ autovalori distinti sappiamo subito che la trasformazione è diagonalizzabile per similitude.
Non ci resta che calcolare delle basi per gli autospazi $U_(lambda=1)$,$U_(lambda=sqrt(2))$,$U_(lambda=-sqrt(2))$.
Io te ne faccio uno, per gli altri ci pensi te
$U_(lambda=1)=Sol([A-1*I]*[vec x]=vec 0)$ dove:
$A-I=((0,0,0),(1,0,1),(1,1,-2))$ da cui il sistema: ${(x=-alpha),(y=3alpha),(z=alpha):}$ quindi: $U_(lambda=1)=L(-1,3,1)$
Buon lavoro
veniamo al dunque,la matrice caratteristica è:
$A-lambdaI=((1-lambda,0,0),(1,1-lambda,1),(1,1,-1-lambda))$
Hai trovato il polinomio caratteristico corretto, e hai trovato i $3$ autovalori:
$lambda_1=1$
$lambda_2=sqrt(2)$
$lambda_3=-sqrt(2)$
Il fatto che siano $3$ è un'ottima cosa infatti poichè stiamo diagonalizzando un endomorfismo in $RR^3$ e abbiamo $3$ autovalori distinti sappiamo subito che la trasformazione è diagonalizzabile per similitude.
Non ci resta che calcolare delle basi per gli autospazi $U_(lambda=1)$,$U_(lambda=sqrt(2))$,$U_(lambda=-sqrt(2))$.
Io te ne faccio uno, per gli altri ci pensi te
$U_(lambda=1)=Sol([A-1*I]*[vec x]=vec 0)$ dove:
$A-I=((0,0,0),(1,0,1),(1,1,-2))$ da cui il sistema: ${(x=-alpha),(y=3alpha),(z=alpha):}$ quindi: $U_(lambda=1)=L(-1,3,1)$
Buon lavoro
Innanzitutto grazie mille per la risposta. 
E' già un sollievo sapere che non era un mio errore il fatto che alcuni autovalori fossero delle radici
Sono già arrivato a calcolare l'autospazio per l'autovalore $\lambda= -1$ e il risultato è lo stesso suo. Ho proceduto poi a calcolare una base dell'autospazio $U_(\lambda=sqrt(2))$ e mi trovo che la base è generata dal vettore $(0,0,0)$, il vettore nullo
Commetto qualche errore nei calcoli?
E' già un sollievo sapere che non era un mio errore il fatto che alcuni autovalori fossero delle radici
Sono già arrivato a calcolare l'autospazio per l'autovalore $\lambda= -1$ e il risultato è lo stesso suo. Ho proceduto poi a calcolare una base dell'autospazio $U_(\lambda=sqrt(2))$ e mi trovo che la base è generata dal vettore $(0,0,0)$, il vettore nullo
Commetto qualche errore nei calcoli?
$U_(lambda=sqrt(2))=Sol([A-sqrt(2)*I]*[vec x]=vec 0)$ dove:
$A-I=((1-sqrt(2),0,0),(1,1-sqrt(2),1),(1,1,-1-sqrt(2)))$ da cui il sistema: ${(x+(1-sqrt(2))y=-alpha),(x+y+(-1-sqrt(2))alpha=0),(z=alpha):}$
${(x=-alpha-(1-sqrt(2))y),(-alpha-(1-sqrt(2))y+y+(-1-sqrt(2))alpha=0),(z=alpha):}=>{(x=0),(y=(1+sqrt(2))*alpha),(z=alpha):}$
Dunque: $U_(lambda=sqrt(2))=L(0,1+sqrt(2),1)$
$A-I=((1-sqrt(2),0,0),(1,1-sqrt(2),1),(1,1,-1-sqrt(2)))$ da cui il sistema: ${(x+(1-sqrt(2))y=-alpha),(x+y+(-1-sqrt(2))alpha=0),(z=alpha):}$
${(x=-alpha-(1-sqrt(2))y),(-alpha-(1-sqrt(2))y+y+(-1-sqrt(2))alpha=0),(z=alpha):}=>{(x=0),(y=(1+sqrt(2))*alpha),(z=alpha):}$
Dunque: $U_(lambda=sqrt(2))=L(0,1+sqrt(2),1)$
Grazie mille per la disponibilità, ho individuato l'errore
Non ponevo che z era un'alfa qualsiasi, e quindi arrivavo alla conclusione che x,y e z fossero 0.
Non ponevo che z era un'alfa qualsiasi, e quindi arrivavo alla conclusione che x,y e z fossero 0.
Ok, di niente 
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