Esercizio matrice composizione proiezione e riflessione
Salve a tutti... ho trovato un esercizio e sfogliando in rete ho trovato un possibile procedimento... però a logica mo torna poco. Allora il testo è:
dati \(\displaystyle N_1=(0,0,1) \), \(\displaystyle N_2=(0,1,1) \) \(\displaystyle B=(1,0,0) \), \(\displaystyle A=(0,1,-1) \) e richedta la matrice rappresentante \(\displaystyle \varphi=\pi\sigma \) con \(\displaystyle \sigma \) riflessione attorno a \(\displaystyle N_1^\bot\) e \(\displaystyle \pi \) proiezione ortogonale su \(\displaystyle N_2^\bot \). Tale matrice dovrà essere sia rispetto alla base canonica che rispetto alla base\(\displaystyle (A,B,N_2) \)
Ecco il mio procedimento:
PROIEZIONE:
prendo una base di\(\displaystyle N_ 2^\bot\) per esempio i due vettori \(\displaystyle (1.0.0),(0,1,-1) \)
a questo punto la ortonormalizzo ottenendo \(\displaystyle (1,0,0) e (0,\frac{{1}}{\sqrt{{{2}}}},\frac{{-1}}{\sqrt{{{2}}}})\)
ora per la matrice di \(\displaystyle \pi \) devo fare\(\displaystyle A*A^T \) con \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}
1&0\\
0&\frac{{1}}{\sqrt{{{2}}}}\\
0&\frac{{-1}}{\sqrt{{{2}}}}
\end{pmatrix} \)
quindi la matrice dovrebbe venire \(\displaystyle \begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1/2&-1/2\\
0&-1/2&1/2
\end{pmatrix} \)
RIFLESSIONE:
prendo un versore ortogonale a \(\displaystyle N_1=(0 0 1) \) per esempio \(\displaystyle (1 0 0) \) e faccio il prodotto vettoriale ottendendo \(\displaystyle (0 1 0) \) quindi la matrice sarà
\(\displaystyle \begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&-1
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&-1
\end{pmatrix} \) (questo procedimento l'ho trovato http://www.matematica.it/impedovo/articoli/Matrici%20e%20isometrie%20nello%20spazio.pdf a pagina 6 e sinceramente non ho ben capito il perchè)
a questo punto faccio il prodotto delle due matrici ottenendo \(\displaystyle \begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1/2&1/2\\
0&-1/2&-1/2
\end{pmatrix} \)
per l'altra base basta fare il cambio base e ottengo \(\displaystyle \begin{pmatrix}
1&0&1\\
0&1&0\\
0&0&0
\end{pmatrix} \)
ora a me sinceramente anche a occhio non torna perchè l'ultima colonna della matrice rispetto alla seconda base dovrebbe venire di soli zeri dato chela proiezione di \(\displaystyle N_2 \) su \(\displaystyle N_2^\bot \) è chiaramente nulla... dove sbaglio? è giusto il procedimento di sopra? grazie in anticipo per la disponibilità
dati \(\displaystyle N_1=(0,0,1) \), \(\displaystyle N_2=(0,1,1) \) \(\displaystyle B=(1,0,0) \), \(\displaystyle A=(0,1,-1) \) e richedta la matrice rappresentante \(\displaystyle \varphi=\pi\sigma \) con \(\displaystyle \sigma \) riflessione attorno a \(\displaystyle N_1^\bot\) e \(\displaystyle \pi \) proiezione ortogonale su \(\displaystyle N_2^\bot \). Tale matrice dovrà essere sia rispetto alla base canonica che rispetto alla base\(\displaystyle (A,B,N_2) \)
Ecco il mio procedimento:
PROIEZIONE:
prendo una base di\(\displaystyle N_ 2^\bot\) per esempio i due vettori \(\displaystyle (1.0.0),(0,1,-1) \)
a questo punto la ortonormalizzo ottenendo \(\displaystyle (1,0,0) e (0,\frac{{1}}{\sqrt{{{2}}}},\frac{{-1}}{\sqrt{{{2}}}})\)
ora per la matrice di \(\displaystyle \pi \) devo fare\(\displaystyle A*A^T \) con \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}
1&0\\
0&\frac{{1}}{\sqrt{{{2}}}}\\
0&\frac{{-1}}{\sqrt{{{2}}}}
\end{pmatrix} \)
quindi la matrice dovrebbe venire \(\displaystyle \begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1/2&-1/2\\
0&-1/2&1/2
\end{pmatrix} \)
RIFLESSIONE:
prendo un versore ortogonale a \(\displaystyle N_1=(0 0 1) \) per esempio \(\displaystyle (1 0 0) \) e faccio il prodotto vettoriale ottendendo \(\displaystyle (0 1 0) \) quindi la matrice sarà
\(\displaystyle \begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&-1
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&-1
\end{pmatrix} \) (questo procedimento l'ho trovato http://www.matematica.it/impedovo/articoli/Matrici%20e%20isometrie%20nello%20spazio.pdf a pagina 6 e sinceramente non ho ben capito il perchè)
a questo punto faccio il prodotto delle due matrici ottenendo \(\displaystyle \begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1/2&1/2\\
0&-1/2&-1/2
\end{pmatrix} \)
per l'altra base basta fare il cambio base e ottengo \(\displaystyle \begin{pmatrix}
1&0&1\\
0&1&0\\
0&0&0
\end{pmatrix} \)
ora a me sinceramente anche a occhio non torna perchè l'ultima colonna della matrice rispetto alla seconda base dovrebbe venire di soli zeri dato chela proiezione di \(\displaystyle N_2 \) su \(\displaystyle N_2^\bot \) è chiaramente nulla... dove sbaglio? è giusto il procedimento di sopra? grazie in anticipo per la disponibilità
Risposte
niente? 
principalmente il problema sta in \(\displaystyle \varphi(A) \) dato che per le altre due a logica credo di esserci arrivato: per \(\displaystyle \varphi(B) \) dovrebbe rimanere B dato che \(\displaystyle B\in\{N_1,N_2\}^\bot \) la proiezione e la riflessione non dovrebbero avere effetti. Per \(\displaystyle N_2 \) come già detto dovrebbe essere zero... ma per A come faccio? ci sono delle formule per calcolare le coordinate della proiezione e della riflessione?
principalmente il problema sta in \(\displaystyle \varphi(A) \) dato che per le altre due a logica credo di esserci arrivato: per \(\displaystyle \varphi(B) \) dovrebbe rimanere B dato che \(\displaystyle B\in\{N_1,N_2\}^\bot \) la proiezione e la riflessione non dovrebbero avere effetti. Per \(\displaystyle N_2 \) come già detto dovrebbe essere zero... ma per A come faccio? ci sono delle formule per calcolare le coordinate della proiezione e della riflessione?
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