Rinoscere compatti e trovare omeomorfi

[Vanzan]

Ciao a tutti!! Ho fatto questo esercizio ma ho un dubbio sull'ultimo punto.
Dire quali dei seguenti insiemi sottoinsiemi della retta reale sono compatti.

$N$ non è compatto perchè non è limitato. ($A sub R$ compatto $hArr $ chiuso e limitato
${1/n,n in N}$ non è chiuso perchè $0$ non appartiene all'insieme. Quindi non è neanche compatto.
$[-1,1]$ si.
${x,x^2+px+q<=0}$ si se il delta è positivo.
${1,2,3...n}$ è limitato ed è unione finita di un chiusi, quindi è chiuso.
$Q nn [-1;1]$ Q non è chiuso in R quindi non è chiuso quindi neanche compatto.

Ora dovrei trovare quali di questi sono omeomorfi tra loro.. Se non sbaglio l'omeomorfismo è una funzione $f$ biettiva, continua per la quale anche la $f^(-1)$ è continua.
Ragionando un po' sulla cardinalita dei sottoinsiemi ho dedotto:
$N$ omeomorfo a $ {1/n,n in N}. f$ potrebbe essere $f: n-->1/n$
E mi sembra che pure ${x,x^2 +px+q<=0}$ è omeomorfo a $[-1;1]$ qui non saprei trovare l'omeomorfismo.
Ce ne sono altri? Grazie mille!!

[j18eos]

Sei sicuro sull'esercizio con l'equazione di secondo grado? Con quella ipotesi sul discriminante che insieme ottieni?

[Vanzan]

Dovrei ottenere $(-p-sqrt(p^2-4q))/2 <= x <= (-p+sqrt(p^2-4q))/2$. Quindi del tipo $[a;b]$

[killing_buddha]

"Vanzan":$E={1/n,n in N}$ non è chiuso perchè $0$ non appartiene all'insieme. Quindi non è neanche compatto.

Detta meglio, esiste una successione a valori in $E$ (proprio $1/n$) che non converge in $E$.

Ora dovrei trovare quali di questi sono omeomorfi tra loro[...] mi sembra che pure ${x,x^2 +px+q<=0}$ è omeomorfo a $[-1;1]$ qui non saprei trovare l'omeomorfismo.

Ogni due intervalli non banali sono omeomorfi, addirittura mediante una funzione affine. Riesci a trovare come mandare [a,b] in [c,d]?

[Vanzan]

Si per esempio con una retta! Ho fatto qualche calcolo e mi sembra che $f:[a,b]->[c;d]$ definita da $y=c+((x-a)(d-c))/(b-a)$ possa andare bene. Ad ogni $x in [a,b]$ associa un $y in [c,d]$