Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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ciao! cerco qualcuno che mi confermi la validità di quello che io so, e magari qualche aiuto o via più veloce! propongo una mia risoluzione.
testro esercizio : sia V il sottospazio vettoriale di $RR^4$ generato dai vettori $v_1$,$v_2$,$v_3$
$v_1$=$[[0,1,1,0]]$
$v_2$=$[[4,-2,0,2]]$
$v_3$=$[[4,1,3,2]]$
a) determinare la dimensione e una base di V
b) determinare una base ortogonale di V
c) determinare ...
ciao a tutti!
vi propongo il seguente esercizio che non riesco a risolvere:
Sia $I$ l'intervallo $[0,1]$ e $X=I^I={f : I rarr I}$ dotato della topologia prodotto, per il teorema di Tyconoff X è compatto di Hausdorff.
Sia $X$ $sup$ $B$ $ = { f : I rarr I $ tale che$ f(x)!=0 $ per al più una quantità numerabile di punti $ x in I}$
Dimostrare che $B$ è denso in $X$, che non è compatto ma ...
Salve a tutti...non riesco a capire perchè se $ZZ$ agisce su $RR$ tramite $n*x=n+x$, lo spazio quoziente $RR$/$ZZ$ è la circonferenza $S^1$. Sapreste spiegarmelo per favore? Grazie mille...
Salve a tutti ragazzi, ho aperto questo topic perchè tra pochi giorni ho un esame di Algebra Lineare, ma ho qualche dubbio riguardo il seguente esempio.
Premetto che ho capito cosa significa matrice simile, ho capito che due matrici simili hanno stesso determinante, rango, polinomio caratteristico ecc, ma il mio problema è che non riesco a stabilire se due matrici sono simili.
Date le matrici:
$A = ((4/3,-4/3),(-7/6,8/3))$ e $B = ((1,-1),(-1,3))$
Sono simili in quanto esiste:
$E = ((1,2),(2,-2)) in GL_n(K)$
come si è ...
ciao a tutti, avrei due "problemi" una dimostrazione e un controesempio , la prima è una dimostrazione, se qualcuno ha voglia potrebbe aiutarmi dandomi qualche suggerimento per iniziare e poi seguendo i miei passi per completarla ? altrimenti se qualcuno me la dimostra direttamente non c'è nessun problema non pretendo mi facciate da baby sitter, la seconda parte riguarda un controesempio, ho pensato all'intersezione tra due piani che è una retta, ma non saprei come formulare il mio esempio in ...
ciao a tutti, sto facendo il testo d'esame che la prof ci aveva dato nel parziale un po' di tempo fa, il primo esercizio chiedeva di di trovare una matrice $P$ tale che P*$AP$ sia diagonale ( con P* intende l'aggiunta) con $A$ fatta così
$((b^2,0,ib),(0,-1,0),(-ib,0,1))$ nel mio caso $b$ è 8 quindi avrei $((64,0,8i),(0,-1,0),(-8i,0,1))$ , il polinomio caratteristico
di questa matrice è $-\lambda^3+64\lambda2+65\lambda$ che io ho scomposto in $-\lambda(\lambda^2-64\lambda-65)$ , in
questo modo ...
Salve a tutti.
Sto studiando Geometria differenziale, ad un certo punto mi sono imbatutto in questo teorema di topologia che non ho mai incontrato. Non riesco a trovare fonti nè a risalire alla dimostrazione - che magari è una sciocchezza -
Sia $M$ una varietà diff. paracompatta e sia $(V_i)_(i \in I)$ un ricoprimento aperto localmente finito.
Allora essendo $M$ $T_3$ e quindi regolare si ha: $p in M \rArr EE i in I t.c. p in V_i \rArr EE W_p in U(p) t.c. \bar(W_p) \sub V_i$.
Non riesco a trovare una dimostrazione. ...
Salve ragazzi, ho da studiare al variare di $a,b \in RR$. Il seguente sistema.
$x+ ay+bz = 0 $
$ax - y +abz=3 $
$x-by-2z=a+2 $
Prima di tutto cerco di stabilire per quali valori di $a,b$ tale sistema ammette soluzione, a tal fine studio il rango della matrice incompleta : $A=$
\begin{pmatrix}
1 &a &b \\
a& -1 &ab \\
1& -b& -2
\end{pmatrix}
Calcolo $det(A)=(2+b)a^2+b+2$ e faccio le seguenti constatazioni.
Se $b!=-2$ allora $det(A)!=0 => Rg(A) =3$ e ...
Ciao a tutti, oggi mi trovo faccia a faccia con un esercizio mai visto e sinceramente nn so come fare:
siano dati tre polinomi:
$p_1(x)=1-x$
$p_2(x)=1-3x+x^2$
$p_3(x)=x+x^2$
dimostra che il polinomio $q(x)=x^2-4x-1$ è una loro combinazione lineare.
Ho pensato che per vedere se un vettore $u$ è una combinazione lineare di altri $n$ vettori $v$ devo vedere se scelti degli $\alpha_1... \alpha_n \in RR$ posso scrivere:
$u= \alpha_0v_0+...+\apha_nv_n$
magari posso ...
Buongiorno,
volevo porgere la domanda seguente:
Se, durante lo svolgimento di esercizi su spazi vettoriali, basi, nucleo e immagine, dovessi trovare che la dimensione di uno spazio vettororiale X è 3 e poi mi fosse richiesto di trovare una sua base e nel fare questo (tramite la matrice associata) trovassi 4 coefficienti $lambda_(i=1,...,4)=0$ dovrei comunque scegliere solo tre vettori dalla matrice? E nel fare questo, ne sceglierei tre qualunque ? (dato che ho trovato che sono tutti e 4 linearmente ...
Questa è la dimostrazione del teorema del completamento della base presa da wiki che l'ha presa dal Lang ( il libro di testo del corso tra l'altro) dite che può andare considerando che è la stessa del mio libro solo spiegata (forse) meglio? la prof l'ha dimostrato in maniera anche piuttosto contorta e lunga, non capendo la sua dimostrazione ha senso ricordarla a memoria, preferirei ricordare questa dato che è semplice e chiara e per fortuna l'ho capita!
Il teorema di completamento a base
Sia ...
Buon anno a tutti i forumisti!
Colgo l'occasione per porvi questo semplice quesito di automatica:
devo calcolare la base dell'intersezione fra due sottospazi:
$ ( ( 1 , 0 ),( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) nn ( ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $
allora cosa faccio:
calcolo le basi,pongo:
Ab1+Bb2=Cb1+Db2
dove ABCD sono i coefficenti e i vettori b sono i vettori della base...
adesso però c' un intersezione che non riesco a capire:
$ ( ( 1 , 0 ),( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) nn ( ( 1 , 1 ),( -1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) $
che diventa:
$ { ( a=c+d),( 0=d),( b=0 ):} $
e considerando come parametri liberi c e d
dovrei avere come basi:
...
Ciao ragazzi
Ho un problema per quanto riguarda il complemento ortogonale... ora mi spiego:
Sul libro e sugli appunti di teoria alla definizione di complemento ortogonale ( $A\bot={v\in\V\text{t.c.} v*w=0, w\in\A}$) segue una consguenza che danno per ovvia ma che io non riesco proprio a capire ossia:
$A\sube\B=>B\bot\sube\A\bot$
Qualcuno saprebbe spiegarmelo? Grazie mille
Ciao a tutti, avrei una piccola domanda da fare, qualcuno saprebbe dirmi il nome della superficie 3d che si ottiene estrudendo lungo $z$ una parabola in $xy$ ? io ho cercato il suo nome ma non ho trovato nulla a riguardo
grazie in anticipo e buone feste a tutti gli amici del forum!
Ciao di nuovo,
sto svolgendo un esercizio e c'è un punti che non riesco a risolvere:
Esercizio: data $f:RR^4->RR^4$
$A=((3,5,-4,-4),(5,5,-2,-8),(8,10,-6,-12),(2,0,2,-4))$
determina se:
[list=i][*:bevrqpti]se è un applicazione lineare[/*:m:bevrqpti]
[*:bevrqpti]se è iniettiva[/*:m:bevrqpti]
[*:bevrqpti]se è suriettiva[/*:m:bevrqpti]
[*:bevrqpti]una base del Ker[/*:m:bevrqpti][/list:o:bevrqpti]
punto i:
Per essere un applicazione lineare deve preservare la chiusura rispetto alla somma e al prodotto per scalare. (e questo lo ...
Salve a tutti,
Devo dimostrare il seguente teorema:
Sia \(\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}
a & b\\
b & c
\end{array}\right) \). La forma quadratica associata ad A è definita positiva |A|>0 e a>0
Ho quindi sfruttato il teorema che dice che una f.q. è definita positiva se e solo se gli autovalori sono tutti positivi (essendo una matrice simmetrica è sempre diagonalizzabile, quindi gli autovalori sono sempre numeri reali).
Quindi dal polinomio caratteristico:
\(\displaystyle ...
Salve a tutti
propongo il seguente esercizio:
Sia data la matrice:
$A=((4,0),(1,1))$
Trovare tutte le matrici $2x2$ tali che:
$AB=BA$
Pensavo di procedere così:
$AB=I$
$A=((4,0),(1,1))((a,b),(c,d))=((1,0),(0,1))$
Eseguendo i calcoli ottengo: $a=1/4, b=0, c=-1/4, d=1$
quindi $B=((1/4,0),(-1/4,1))$
Ma anche ponendo $B=((1,0),(0,1))$ la $AB=BA$ è vera.
Gradirei qualche consiglio.
Grazie e saluti
Giovanni C.
Ciao ragazzi! Sono alle prime armi con degli esercizi di algebra lineare riguardanti gli spazi vettoriali. Sono ferma a questo:
dato il sottospazio \( \langle(1,2,1), (0,1,0)\rangle di \mathbb{Q}^3 \), dire quali dei seguenti sottospazi sono ad esso complementari:
-1- \( \langle0\rangle \)
-2- \( \mathbb{Q}^3 \)
-3- \( \langle(1,1,1)\rangle \)
-4- \( \langle(1,0,1)\rangle \)
-5- \( \{(x,y,z) \in {Q}^3 | x-y+z=0\} \)
1 e 2 mi sembra che abbiano una risposta immediata: il sottospazio banale non ...
Si discuta il seguente sistema parametrico al variare del parametro reale k:
2x+y=2
x+ky=1
y+3kz=k
Svolgendo questo esercizio, nella discussione si ottiene che:
1)per k diverso da 0 e da 1/2 il sistema è compatibile con soluzione(1,0,1/3);
2)per k=0 il sistema è compatibile con "infinito alla uno" soluzioni;
3)per k=1/2 si ha la stessa situazione presentata per k=0;
Dunque il sistema non è mai incompatibile, ma sicuramente avrò sbagliato qualcosa perchè la 2) e la 3) sono ridondanti. Sareste ...
Salve a tutti, vorrei un chiarimento sul polinomio caratteristico. Se trovo un polinomio caratteristico uguale ad un equazione di terzo grado scomponibile come:
-x(x^2-5x+8)
Dove x sarebbe l'autovalore.In questo caso l'unica soluzione reale sarebbe x=0 poichè il polinomio di secondo grado ha delta negativo, in questo caso posso concludere che la matrice associata non è diagonalizzabile ?
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