Geometria e Algebra Lineare

Ciao a tutti!! Premettendo che se qualcuno mi chiedesse che differenza c'è tra ortogonalità e perpendicolarità io risponderei che sono sinonimi e che non ce n'è nessuna, vi espongo la questione... Studiando Campi Elettromagnetici (e non geometria ma il problema è riconducibile a quest'ultima) mi sono imbattuta nella frase: "Quando il prodotto scalare fra 2 vettori complessi è nullo, i 2 vettori si dicono "ortogonali", senza che per questo essi possano dirsi perpendicolari". Essendo questa una ...

Ho verificato che se due spazi sono omeomorfi ad esempio vale che se il primo è di Hausdorff allora lo è anche il secondo e viceversa. Il libro dice che gli spazi omeomorfi godono delle stesse proprietà topologiche. Questo si dimostra ogni volta utilizzando manualmente l'omeomorfismo come ho fatto io o è un risultato generale delle topologia? Oppure più strettamente della teoria delle categorie?

Salve, vorrei chiedervi un aiuto per risolvere questo esercizio, poichè ho avuto vari dubbi e problemi. Sia data l'applicazione lineare f:R^3 ---> R^3 con matrice associata rispetto alle basi canoniche nel dominio e nel codominio $ ( ( h-2 , 0 , 0 ),( h , 0 , 0 ),( h-2 , 1 , 1 ) ) $ . Studiare f al variare di h, determinando in ciascun caso Imf, Kerf e le relative dimensioni. Ad occhio ho visto che la colonna 2 e 3 sono linearmente dipendenti, per cui è possibile ridurre la matrice in $ ( ( h-2 , 0 ),( h , 0 ),( h-2 , 1 ) ) $ . E con ciò ...

Salve, quello che volevo chiedervi è solo una conferma sulla mia risoluzione di alcuni quesiti che sono soliti della mia professoressa di algebra. Preso, ad esempio, l'endomorfismo: f((x,y,z))=(x-2y+3, -2x+4y-6z, x-2y+3z) -Trovare una base e la dimensione di ker. La dim di ker è semplicemente n-dim(im). Per trovarne una base, faccio un sistema lineare, con tante equazioni quanto è il rango della matrice (praticamente elimino le equazioni proporzionali), e avendo quindi un tot di variabili ...

salve a tutti sto preparando l'esame di geometria 1 in un corso di ingegneria quindi immagino la banalità della mia domanda ma purtroppo non riesco a trovare una risposta da nessuna parte: gramshmidt mi permette di ortonormalizzare una base B di un V R-Spazio Vettoriale. Lavorando sugli endomorfismi autoaggiunti vi è un teorema che recita: " sia \(\phi \)endomorfismo semplice di \((V_{}^{n},\bullet) \) e siano \(\Lambda_{1},.......,\Lambda_{n}\) i suoi autovalori. \(\phi\)è autoaggiunto ...

ciao, ho un problema con una domanda di un esercizio. Vi scrivo il testo e parte dello svolgimento. in $ A^2(RR) $ : a)determinare la matrice rispetto al sistema di riferimento canonico della proiezione sulla retta $ r: x-y+1=0 $ nella direzione di $ v=( ( 2 ),( 1 ) ) $ b) determinare ora la matrice della stessa proiezione rispetto al sistema di riferimento $ S={ P=( ( 0 ),( 1 ) ), v1=( (1),(1) ), v2=( (2),(1) )} $ c) determinare la matrice della simmetria di asse la retta $ r $ e direzione in vettore ...

Domanda veloce su un esercizio: ho un cono di rotazione del quale conosco il vertice e so che contiene 2 punti noti che sono simmetrici rispetto al suo asse. Io ho trovato l'asse facendo la retta passante per il vertice e il punto medio dei 2 miei punti e poi ho trovato una direttrice facendo la retta passante per il vertice e uno dei due punti che mi da il testo...quindi a questo punto ho una direttrice e l'asse...come faccio a trovare l'eq. del cono? Dovrei probabilmente (credo) far ruotare ...

Siano k $ \in\ $ $ \RR\ $ ed f : $ \RR^3\ $ $ rarr \RR^3\ $ una applicazione tale che f $ ( -1, 0 , 0) $ = $ (k^2 + k , 3 ,1 ) $ f $ (2k ,1,k)= (0,-1,1) $ f $ (1,1,1)= (0,-1,1) $ f $ (1,3,2)= (2,1,3) $ . Determinare k supponendo che f sia un endomorfismo del 3-spazio numerico reale $ \RR^3\ $ .

salve a tutti, dovrei definire se l'endomorfismo $ f(x,y,z)=(-2kx-y+kx, x+z, kz) $ è semplice al variare del parametro k. adesso calcolo la matrice associata A a f $ | ( -2k , -1 , k ),( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , k ) | $ calcolo il polinomio caratteristico $ (A(f)- lambda*I ) $ mi viene $ -(k - lambda)*(lambda^2 + 2 k*lambda + 1) $ SBAGLIATO e mi trovo quindi gli autovalori che sono le soluzioni reali del polinomio caratteristico $ lambda = k $ e $ lambda = -k $ adesso sorge il mio problema, perchè di solito senza il parametro vedo se le soluzioni sono distinte e ...

Salve ragazzi, ho il seguente quesito : Sia $q : RR^4->RR$ forma quadratica definita da $q(x,y,z,t)=x^2-2xy+2y^2+2yz+z^2+t^2$. 1) Determinare la segnatura di $q$ e una base di $RR^4$ che fornisce l'espressione canonica di $q$. Ho ragionato al seguente modo. 1) Sia $B_{c}={e_1,e_2,e_3,e_4}$ la base canonica di $RR^4$. E sia $g: RR^4\timesRR^4 -> RR$ la forma bilineare simmetrica associata a $q$. Si verifica facilmente che la matrice associata a ...

W1=L((1,0,0,0),(1,0,1,1) W2={(x,y,z,t) / x+y=0, z=2x} Determinare una base di W1 $ nn $ W2 Ora, volendo determinare la rappresentazione cartesiana di W1 ho impostato che il seguente determinante fosse uguale a 0 : $ | ( x , y , z , t ),( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 1 , 1 ) | = 0 $ (Primo dubbio: non esiste un minore fondamentale certamente uguale a 0 ?!) Con il teorema degli orlati ho calcolato due determinati di matrici 3x3 e ho ricavato : y=0. Mettendo a sistema le due rappresentazioni cartesiane di W1 e W2 , ottengo x=0, ...

Mi sono imbattuta in questo esercizio: "Dati i punti $O=(0,0)$ $A=(1,0)$ $B=(0,1)$ e $O'=(1,1)$ $A'=(2,4)$ $B'=(4,0)$ determinare la trasformazione affine del piano che trasforma $O$ in $O'$, $A$ in $A'$, $B$ in $B'$". Ho provato a rappresentarmi i punti sul piano cartesiano, e a comporre traslazioni e rotazioni.. ma non sono riuscita a trovare una trasformazione che ...

Scusate, mi sapreste dire per quale motivo posso porre $ e^(At)=sum((A^kt^k)/(k!)) $ con A matrice quadrata. Grazie!!

E' vero che la topologia di Zariski su Rn è meno fine della topologia euclidea, cioè che ogni varietà algebrica reale è chiusa nella topologia euclidea? Intuitivamente sembra di sì, ma come si dimostra?

Ciao a tutti...sto cercando di risolvere il seguente esercizio senza però un esito positivo...spero mi possiate dare una mano : Si considerino le seguenti matrici :A= $((5,1,1),(0,5,1),(0,0,5))$ e B= $((5,1,2),(0,5,1),(0,0,5))$ Si dimostri che A e B sono simili e si determini la matrice non singolare C tale che A= C^(-1) B C Le matrici date, secondo i calcoli che ho svolto, dovrebbero essere simili in quanto le due matrici presentano entrambe la stessa forma canonica; tuttavia quando vado ad impostare la ...

Nello spazio affine euclideo tridimensionale usuale E^3, determinare qualche retta per l'origine che formi angoli con i piani $ alpha $ : x + 2y + 3z = 0 ; $ beta $ : 2x + 3y + z = 0; $ gamma $ ) 3x + y + 2z = 0

Ragazzi mi servirebbe un piccolo aiutino su quest'esercizio Date le rette: $r)$ ${(y=2),(z=(x-1)/2):}$ Ed $s)$ $x=z-1=0$ 1) Scrivere l'equazione del piano contenente $r$ e parallelo ad $s$ 2) Scrivere l'equazione del piano contenente $r$ e formante un angolo di $pi/3$ con $s$ 3) Su ciascuno dei piani trovati,individuare una retta che dista $4$ da $r$ Svolgimento: 1) ...

buongiorno a tutti, stavo risolvendo questo esercizio sulle topologie: sia $X=RR$ e sia $tau$ la collezione che consiste dell'insieme vuoto e di tutti i sottoinsiemi infiniti di X. Stabilire se $tau$ è una topologia su X. Il mio dubbio è che l'intersezione di due sottoinsiemi infiniti di X non sia un sottoinsieme infinito e quindi non appartenendo a $tau$ questa non è una topologia. se io prendo due sottoinsiemi di questo tipo ...

Salve, devo trovare l'eq. di un piano che tange una sfera in un punto P che conosco e della sfera conosco il centro C. Io come prima cosa mi sono ricavato la retta in forma parametrica che passa per il punto di tangenza P e per C, così mi sono ricavato il vettore direttore della retta (retta che è perpendicolare al piano) il quale vettore direttore è uguale al vettore ortogonale del piano che voglio trovare. Per trovare l'eq. in forma parametrica del piano io ho preso: le coordinate del punto P ...

Salve! stavo studiando geometria e mi è capitato uno strano esercizio! praticamente ho questa matrice: $ ((4,1,-2),(-3,0,2),(0,0,1))\ $ facendo i vari passaggi trovo gli autovalori che sono: $ \lambda\ $ 1= 0; $ \lambda\ $ 2= 4; $ \lambda\ $ 3 e 4= 1; ora io so che per definizione un autovalore non può essere nullo ma ho controllato più volte i calcoli e sembrano esatti! il mio dilemma è che quell'autovalore (insieme a tutti gli altri) generano autovettori nulli e quindi un autospazio ...