Spazi omeomorfi

[5mrkv]

Ho verificato che se due spazi sono omeomorfi ad esempio vale che se il primo è di Hausdorff allora lo è anche il secondo e viceversa. Il libro dice che gli spazi omeomorfi godono delle stesse proprietà topologiche. Questo si dimostra ogni volta utilizzando manualmente l'omeomorfismo come ho fatto io o è un risultato generale delle topologia? Oppure più strettamente della teoria delle categorie?

[Seneca1]

Un omeomorfismo $f : X -> Y$ è una applicazione continua con inversa continua. In particolare è una mappa aperta, quindi trasporta gli aperti della topologia su $X$ negli aperti della topologia su $Y$. Questo ti dice che le due topologie sono essenzialmente la stessa.

[5mrkv]

Partendo dalla definizione di continuità per aperti ho visto che
\[U\in \tau_{X}\Leftrightarrow f(U)\in \tau_{Y} \]
e quindi usando la formula analoga per la funzione inversa \(g\), valgono insieme
\begin{split}
U\in \tau_{X}\Rightarrow f(U)\in \tau_{Y} \\
V\in \tau_{Y}\Rightarrow g(V)\in \tau_{X} \\
\end{split}
E' questo che intendi?

Questo ti dice che le due topologie sono essenzialmente la stessa.

E' questa parte che non mi sembra evidente