Esercizio sulle topologie
buongiorno a tutti,
stavo risolvendo questo esercizio sulle topologie:
sia $X=RR$ e sia $tau$ la collezione che consiste dell'insieme vuoto e di tutti i sottoinsiemi infiniti di X.
Stabilire se $tau$ è una topologia su X.
Il mio dubbio è che l'intersezione di due sottoinsiemi infiniti di X non sia un sottoinsieme infinito e quindi non appartenendo a $tau$ questa non è una topologia.
se io prendo due sottoinsiemi di questo tipo $(-oo , a]$ e $[a, +oo)$ la loro intersezione è $a$ e quindi un insieme finito
giusto?
stavo risolvendo questo esercizio sulle topologie:
sia $X=RR$ e sia $tau$ la collezione che consiste dell'insieme vuoto e di tutti i sottoinsiemi infiniti di X.
Stabilire se $tau$ è una topologia su X.
Il mio dubbio è che l'intersezione di due sottoinsiemi infiniti di X non sia un sottoinsieme infinito e quindi non appartenendo a $tau$ questa non è una topologia.
se io prendo due sottoinsiemi di questo tipo $(-oo , a]$ e $[a, +oo)$ la loro intersezione è $a$ e quindi un insieme finito
giusto?
Risposte
Giustissimo!
Rilanci: prova con gli insiemi finiti eppoi con gli insiemi al più numerabili!
Rilanci: prova con gli insiemi finiti eppoi con gli insiemi al più numerabili!
con gli insiemi finiti l'intersezione è ancora un insieme finito
per quelli numerabili è ancora un insieme numerabile
grazie mille
per quelli numerabili è ancora un insieme numerabile
grazie mille
Sì, ma sono due topologie date per aperti o chiusi?
Prego, di nulla!
P.S.: Attenta a come ti esprimi nel caso al più numerabile!
Prego, di nulla!
P.S.: Attenta a come ti esprimi nel caso al più numerabile!
Nel rilanciare potevi anche includere gli insiemi cofiniti (con complementare finito)...
Ma perché che ho fatto? 
nel secondo caso per chiusi nel primo per aperti però non ne sono certa!
ma nella pratica c'è differenza se sono aperti o chiusi?
cmq grazie per farmi ragionare così riesco a comprendere tutto meglio
ma nella pratica c'è differenza se sono aperti o chiusi?
cmq grazie per farmi ragionare così riesco a comprendere tutto meglio
"miriam161089":Una generica unione di insiemi finiti è un insieme finito?
...nel primo per aperti però non ne sono certa!...
Risposta a questa domanda potrai risponderti da sola alla seconda.
no nn è un insieme finito ma perchè mi da la risposta alla seconda domanda?
Ricapitoliamo: su un generico insieme \(S\) infinito più che numerabile (se preferisci pensa ad \(S=\mathbb{R}\)); ti ho proposto di considerare la famiglia delle parti finite di \(S\) unita a \(\{S\}\): che hai ottenuto rispetto alla stabilità per unioni e intersezioni?
Al secondo punto, che hai svolto bene da quanto scrivi, consideri la famiglia delle parti al più numerabili di \(S\) unita ad \(\{S\}\): hai dimostrato che essa è stabile per unioni finite e intersezioni, quindi essa è una topologia \(\mathcal{T}_{conum}\) (detta conumerabile) data per insiemi chiusi!
Altro esempio: la "usuale" topologia (naturale) su \(\mathbb{R}\) è data per insiemi aperti o chiusi?
Se non hai la sagacia di non aver capito, ti faccio un esempio facilissimo: considera l'insieme \(\{x;y\}\) e la famiglia \(\mathcal{T}=\{\emptyset;\{x\};S\}\), essa è una topologia: essa è data per aperti o per chiusi? La risposta è: dipende da me!
Nella pratica, si da una topologia su un insieme o per aperti o per chiusi a secondo del fine proposto; se la dai per aperti consideri tutti i complementi ed ottieni tutti i chiusi e viceversa; esempi pratici: in analisi matematica conviene (normalmente) dare topologie per aperti in quanto consentono di carpire da subito gli intorni dei punti dello spazio in cui si lavora (i possibili punti possono essere i numeri reali o complessi), in geometria algebrica conviene dare le topologie per chiusi... non fornisco spiegazioni perché richiede la cosa richiede una buona conoscenza di algebra.
Sono stato chiaro?
Al secondo punto, che hai svolto bene da quanto scrivi, consideri la famiglia delle parti al più numerabili di \(S\) unita ad \(\{S\}\): hai dimostrato che essa è stabile per unioni finite e intersezioni, quindi essa è una topologia \(\mathcal{T}_{conum}\) (detta conumerabile) data per insiemi chiusi!
Altro esempio: la "usuale" topologia (naturale) su \(\mathbb{R}\) è data per insiemi aperti o chiusi?
Se non hai la sagacia di non aver capito, ti faccio un esempio facilissimo: considera l'insieme \(\{x;y\}\) e la famiglia \(\mathcal{T}=\{\emptyset;\{x\};S\}\), essa è una topologia: essa è data per aperti o per chiusi? La risposta è: dipende da me!
Nella pratica, si da una topologia su un insieme o per aperti o per chiusi a secondo del fine proposto; se la dai per aperti consideri tutti i complementi ed ottieni tutti i chiusi e viceversa; esempi pratici: in analisi matematica conviene (normalmente) dare topologie per aperti in quanto consentono di carpire da subito gli intorni dei punti dello spazio in cui si lavora (i possibili punti possono essere i numeri reali o complessi), in geometria algebrica conviene dare le topologie per chiusi... non fornisco spiegazioni perché richiede la cosa richiede una buona conoscenza di algebra.
Sono stato chiaro?
si grazie penso di aver capito
In caso contrario, se non hai capito, ti chiedo scusa in anticipo.
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