Applicazione lineare
Salve,
vorrei chiedervi un aiuto per risolvere questo esercizio, poichè ho avuto vari dubbi e problemi.
Sia data l'applicazione lineare f:R^3 ---> R^3 con matrice associata rispetto alle basi canoniche nel dominio e nel codominio $ ( ( h-2 , 0 , 0 ),( h , 0 , 0 ),( h-2 , 1 , 1 ) ) $ .
Studiare f al variare di h, determinando in ciascun caso Imf, Kerf e le relative dimensioni.
Ad occhio ho visto che la colonna 2 e 3 sono linearmente dipendenti, per cui è possibile ridurre la matrice in $ ( ( h-2 , 0 ),( h , 0 ),( h-2 , 1 ) ) $ . E con ciò iniziano a sorgere i primi dubbi...il det è h, per cui per h $ != $ 0 rango(A)=2.
Mentre per h=0 ??? solitamente non dovrebbe essere di grado inferiore? se però sostituisco 0 ad h nella matrice quest'ultima diventa $ ( ( -2 , 0 ),( -2 , 1 ) ) $ ed il suo determinante è $ != $ 0 per cui il rango è ancora 2. Dove sbaglio?
Ho comunque proseguito con l'esercizio :
*Per h $ != $ 0
dimImf=2 una possibile base di Imf={(0,2,0),(0,0,1)} per h=2
dimKerf=3-2=1 per calcolare una base di Kerf trovo le soluzioni ponendo Ax=0 $ ( ( h-2 , 0 ),( h , 0 ),( h-2 , 1 ) ) * ( ( x ),( y ),( z ) )=( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $ (ho qualche dubbio che sia giusto perchè sto moltiplicando una matrice 3x2 per una 3x1, ma non so come altro fare).
Metto a sistema: $ { ( (h-2)x=0 ),( hx=0 ),( (h-2)x+y=0 ):} $ da questo ho che x=0 y=0 quindi Kerf={(0,0,z)} ????? ed una base per kerf={(0,0,1)}
Mi son fermato qua a causa dei numerosi dubbi.
Saluti e grazie per il vostro eventuale aiuto e disponibilità
Ps:ho letto il thread su come postare e spero di non aver sbagliato niente.
vorrei chiedervi un aiuto per risolvere questo esercizio, poichè ho avuto vari dubbi e problemi.
Sia data l'applicazione lineare f:R^3 ---> R^3 con matrice associata rispetto alle basi canoniche nel dominio e nel codominio $ ( ( h-2 , 0 , 0 ),( h , 0 , 0 ),( h-2 , 1 , 1 ) ) $ .
Studiare f al variare di h, determinando in ciascun caso Imf, Kerf e le relative dimensioni.
Ad occhio ho visto che la colonna 2 e 3 sono linearmente dipendenti, per cui è possibile ridurre la matrice in $ ( ( h-2 , 0 ),( h , 0 ),( h-2 , 1 ) ) $ . E con ciò iniziano a sorgere i primi dubbi...il det è h, per cui per h $ != $ 0 rango(A)=2.
Mentre per h=0 ??? solitamente non dovrebbe essere di grado inferiore? se però sostituisco 0 ad h nella matrice quest'ultima diventa $ ( ( -2 , 0 ),( -2 , 1 ) ) $ ed il suo determinante è $ != $ 0 per cui il rango è ancora 2. Dove sbaglio?
Ho comunque proseguito con l'esercizio :
*Per h $ != $ 0
dimImf=2 una possibile base di Imf={(0,2,0),(0,0,1)} per h=2
dimKerf=3-2=1 per calcolare una base di Kerf trovo le soluzioni ponendo Ax=0 $ ( ( h-2 , 0 ),( h , 0 ),( h-2 , 1 ) ) * ( ( x ),( y ),( z ) )=( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $ (ho qualche dubbio che sia giusto perchè sto moltiplicando una matrice 3x2 per una 3x1, ma non so come altro fare).
Metto a sistema: $ { ( (h-2)x=0 ),( hx=0 ),( (h-2)x+y=0 ):} $ da questo ho che x=0 y=0 quindi Kerf={(0,0,z)} ????? ed una base per kerf={(0,0,1)}
Mi son fermato qua a causa dei numerosi dubbi.
Saluti e grazie per il vostro eventuale aiuto e disponibilità
Ps:ho letto il thread su come postare e spero di non aver sbagliato niente.
Risposte
Up perfavore.
"TheMasterita":
solitamente non dovrebbe essere di grado inferiore?
Non è detto. Il tuo ragionamento è giusto e dimostra che quella matrice ha rango $2$, $AA h in RR$.
E con ciò iniziano a sorgere i primi dubbi...il det è h, per cui per $h != 0$ rango(A)=2.
Penso (spero) che tu indendessi il determinante del minore... anche perchè si può calcolare il determinante solo di una matrice quadrata!
ho qualche dubbio che sia giusto perchè sto moltiplicando una matrice 3x2 per una 3x1, ma non so come altro fare
Dopo aver applicato la trasformazione di colonna hai letteralmente cancellato la colonna tutta nulla. E' vero che non dà contributo al determinante, al rango, ecc. ma non la puoi cancellare perchè vai a cambiare la dimensione della matrice e ti fai venire dei dubbi come questo!
Se la lasci dov'era continui ad avere una $3xx3$.Riesci a terminare così?
Si, grazie mille per la disponibilità.
Per h $ != $ 0 ho trovato che Kerf={(0,z,z)}.
Per h=0:
dimImf=2 Imf={(-2,0,-2),(0,0,1)}
dimKerf=1 Kerf={(0,z,z)}.
Dopodiche mi chiede di verificare se h è un autovalore di f? Come dovrei fare?
io ho provato a fare $ | ( A-lambda I ) | =0 $
$ | ( h-2-lambda , 0 , 0 ),( h, -lambda , 0 ),( h-2 , 1 , 1-lambda ) | =0 $ da cui $ -lambda^2(h-2)=0 $ ----> $ lambda $ =0
quindi deduco che h non è un autovalore di f, e che per h $ != $ 0 l'autovalore di f è solo $ lambda $ =0 che ha molteplicità 2. Mentre per h=0 non esistono autovalori.
E' esatto?
Per h $ != $ 0 ho trovato che Kerf={(0,z,z)}.
Per h=0:
dimImf=2 Imf={(-2,0,-2),(0,0,1)}
dimKerf=1 Kerf={(0,z,z)}.
Dopodiche mi chiede di verificare se h è un autovalore di f? Come dovrei fare?
io ho provato a fare $ | ( A-lambda I ) | =0 $
$ | ( h-2-lambda , 0 , 0 ),( h, -lambda , 0 ),( h-2 , 1 , 1-lambda ) | =0 $ da cui $ -lambda^2(h-2)=0 $ ----> $ lambda $ =0
quindi deduco che h non è un autovalore di f, e che per h $ != $ 0 l'autovalore di f è solo $ lambda $ =0 che ha molteplicità 2. Mentre per h=0 non esistono autovalori.
E' esatto?
C'è un errore nel calcolo del determinante della matrice con i $lambda$. Si tratta di una matrice triangolare, quindi il suo determinante è semplicemente dato dal prodotto degli elementi sulla diagonale, cioè $(h-2-lambda)(-lambda)(1-lambda)$.
Ok grazie ancora, saluti.
"TheMasterita":
Ok grazie ancora, saluti.
Prego, ciao!
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