Piano formante un angolo con una retta
Ragazzi mi servirebbe un piccolo aiutino su quest'esercizio
Date le rette:
$r)$ ${(y=2),(z=(x-1)/2):}$
Ed
$s)$ $x=z-1=0$
1) Scrivere l'equazione del piano contenente $r$ e parallelo ad $s$
2) Scrivere l'equazione del piano contenente $r$ e formante un angolo di $pi/3$ con $s$
3) Su ciascuno dei piani trovati,individuare una retta che dista $4$ da $r$
Svolgimento:
1) Ho notato che $s$ è scritta come intersezione di 2 piani $x=o$ e $z=1$ ed un vettore ad essa parallelo è $v_s=j$
Poi mi scrivo $r$ in forma cartesiana:
$r)$ ${(x-1-2z=0),(y-2=0):}$
Faccio il fascio di piani contenente $r$
$alpha(x-1-z2)+beta(y-2)=0$
Svolgendo mi viene:
$alphax+betay-alpha-2beta-2alphaz=0$
Da qui posso ricavarmi un vettore ortogonale al piano che è $n=alphai+betaj-2alphak$
Impongo l'ortogonalità tra $j$ il vettore parallelo ad $s$ e $n$
$beta$ dovrà essere 0 altrimenti il piano non sarà parallelo ad $s$, e $alpha$ qualsiasi, per $alpha=1$ il piano è:
$pi) x-2z-1=0$
2) per quanto riguarda il secondo punto non saprei come fare ho pensato di eseguire il prodotto scalare tra $j$ ed un vettore prallelo al piano però poi non so come continuare...Sapreste dirmi come fare?
Date le rette:
$r)$ ${(y=2),(z=(x-1)/2):}$
Ed
$s)$ $x=z-1=0$
1) Scrivere l'equazione del piano contenente $r$ e parallelo ad $s$
2) Scrivere l'equazione del piano contenente $r$ e formante un angolo di $pi/3$ con $s$
3) Su ciascuno dei piani trovati,individuare una retta che dista $4$ da $r$
Svolgimento:
1) Ho notato che $s$ è scritta come intersezione di 2 piani $x=o$ e $z=1$ ed un vettore ad essa parallelo è $v_s=j$
Poi mi scrivo $r$ in forma cartesiana:
$r)$ ${(x-1-2z=0),(y-2=0):}$
Faccio il fascio di piani contenente $r$
$alpha(x-1-z2)+beta(y-2)=0$
Svolgendo mi viene:
$alphax+betay-alpha-2beta-2alphaz=0$
Da qui posso ricavarmi un vettore ortogonale al piano che è $n=alphai+betaj-2alphak$
Impongo l'ortogonalità tra $j$ il vettore parallelo ad $s$ e $n$
$beta$ dovrà essere 0 altrimenti il piano non sarà parallelo ad $s$, e $alpha$ qualsiasi, per $alpha=1$ il piano è:
$pi) x-2z-1=0$
2) per quanto riguarda il secondo punto non saprei come fare ho pensato di eseguire il prodotto scalare tra $j$ ed un vettore prallelo al piano però poi non so come continuare...Sapreste dirmi come fare?
Risposte
Punto (2)
Se il generico piano contenente r ( vedi figura) forma con la retta s l'angolo \(\frac{\pi}{3}\), allora s forma con la normale n al suddetto piano l'angolo \( \delta=\frac{\pi}{6}\). Adesso applico la formula del coseno dell'angolo tra le rette n ed s :
(A) \(\cos\delta=\frac{|\sigma.\nu|}{|\sigma||\nu|}\)
dove il "." è il simbolo di prodotto scalare e \(\sigma,\nu\) sono rispettivamente i vettori direzionali di s ed n.
Nel nostro caso :
\(\delta=\frac{\pi}{6},\sigma=(0,1,0),\nu=(\alpha,\beta,-2\alpha)\)
Sostituendo questi valori nella (A) ottieni una relazione tra \( \alpha,\beta \) che sostituita a sua volta nell'equazione del fascio ti restituisce l'equazione del piano richiesto. Lascio a te i dettagli.
Ciao grazie mille per l'aiuto e anche per il disegno ,fatto molto bene, come ci sei riuscito?....Una sola cosa volevo chiederti che non mi è chiara, visto che io devo imporre un angolo di $pi/3$ tra il piano e la retta perchè nella formula imposti un angolo di $pi/6$?
In geometria analitica esistono solo formule per calcolare l'angolo tra due piani o tra due rette. Per questo motivo ho dovuto dirottare il calcolo tra retta s e piano \( \alpha\) verso quello tra le rette n ed s. D'altra parte, se osservi la figura e consideri il triangolo rettangolo che si è formato, ti rendi subito conto che l'angolo tra s ed n è uguale a \(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}\).
Le figure le faccio con GeoGebra e...con molta pazienza !
Le figure le faccio con GeoGebra e...con molta pazienza !
Ahh adesso si, scusami ma io sbagliavo a vedere la figura ma non so perchè 
vedevo che il vettore $n$ era quello giacente sul piano e di conseguenza i conti non tornavano 
, è stata una mia distrazione ora mi è tutto chiaro grazie mille ancora per la dritta
Anche io uso geogebra però a me vengono più tridimensionali i disegni uso la versione 5
Facendo il prodotto scalare mi ritrovo $beta=+-|alpha | sqrt(18)$
Che sostituendo nel fascio dei piani me ne ritrovo due uno per $alpha >0$ e l'altro per $alpha<0$
$x+sqrt(18)y-1+2sqrt(18)-2z=0$
e
$-x-sqrt(18)y+1-2sqrt(18)+2z=0$
E fin qui tutto risolto
3) Il terzo punto per trovarmi una retta che dista 4 da $r$,visto che sono tutte parallele ad essa mi basta prendere un vettore parallelo ad $r$ e metterlo nell equazione della nuova retta?
vedevo che il vettore $n$ era quello giacente sul piano e di conseguenza i conti non tornavano , è stata una mia distrazione ora mi è tutto chiaro grazie mille ancora per la dritta Anche io uso geogebra però a me vengono più tridimensionali i disegni uso la versione 5
Facendo il prodotto scalare mi ritrovo $beta=+-|alpha | sqrt(18)$
Che sostituendo nel fascio dei piani me ne ritrovo due uno per $alpha >0$ e l'altro per $alpha<0$
$x+sqrt(18)y-1+2sqrt(18)-2z=0$
e
$-x-sqrt(18)y+1-2sqrt(18)+2z=0$
E fin qui tutto risolto
3) Il terzo punto per trovarmi una retta che dista 4 da $r$,visto che sono tutte parallele ad essa mi basta prendere un vettore parallelo ad $r$ e metterlo nell equazione della nuova retta?
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