Topologia di Zariski e topologia euclidea su Rn

[pier.paolo15]

E' vero che la topologia di Zariski su Rn è meno fine della topologia euclidea, cioè che ogni varietà algebrica reale è chiusa nella topologia euclidea? Intuitivamente sembra di sì, ma come si dimostra?

[j18eos]

Ricordati la definizione di varietà algebrica e che i polinomi in \(n\) indeterminate a coefficienti reali sono funzioni continue da \(\mathbb{R}^n\) a \(\mathbb{R}\), strutturati questi ultimi con le rispettive topologie euclidee.

[pier.paolo15]

ah ecco...perfetto, grazie mille!

[j18eos]

Prego, di nulla!

Rilancio: la topologia di Zariski su \(\mathbb{R}^n\) è la topologia debole (o immagine inversa) generata dai polinomi in \(n\) indeterminate e coefficienti reali? E se cambio il campo reale con \(\mathbb{C}\)?

[pier.paolo15]

Mmm non ho ben capito la domanda...se il campo $K$ non è $RR$ la topologia di Zariski si può sempre definire (come hai detto tu) ed è ancora una topologia. Se poi $K$ è almeno un sottocampo di $CC$, su $K^n$ si può definire la topologia euclidea ed essa risulta sempre più fine della topologia di Zariski.

[j18eos]

Brevemente, tra l'altro ho corretto altrimenti ci metteresti un bel pò di tempo e più per capire cos'è la "topologia naturale su un (opportuno) campo".

Siano \(X\) un insieme, \((Y;\mathcal{T})\) ed \(F=\{f_i:X\to Y\}_{i\in I}\) una famiglia di funzioni; la topologia debole \(\mathcal{D}\) su \(X\) generata dalle funzioni \(F\) è la topologia meno fine che renda continue tutte le funzioni \(f_i\)(considerando su \(Y\) la topologia \(\mathcal{T}\)).

Per come posta la mia domanda, dovresti limitarti a un "sì" oppure a un "no"; qualora fosse un "no" non devi determinare la topologia che ti ho indicata!