Conferma di dubbi su quesiti di algebra
Salve, quello che volevo chiedervi è solo una conferma sulla mia risoluzione di alcuni quesiti che sono soliti della mia professoressa di algebra.
Preso, ad esempio, l'endomorfismo:
f((x,y,z))=(x-2y+3, -2x+4y-6z, x-2y+3z)
-Trovare una base e la dimensione di ker.
La dim di ker è semplicemente n-dim(im). Per trovarne una base, faccio un sistema lineare, con tante equazioni quanto è il rango della matrice (praticamente elimino le equazioni proporzionali), e avendo quindi un tot di variabili libere.
-Determina le immagini tramite f dei vettori u1,u2,u3 al variare di un parametro.
Per ogni vettore, non faccio altro che sostituire le sue coordinate nell'endomorfismo.
Ad esempio, con u1=(0,2h+1,0), ho f((u1))= (-4h-2, 8h+4, -4h-2)
E similmente anche u2 e u3.
-Trova, se esistono, i valori del parametro h per i quali [u1,u2,u3] sia una base di IR^3.
Prendo questi 3 vettori e li metto sulle righe di una matrice.
Allora trovo i valori di h per cui questa matrice avrà determinante diverso da 0.
-Determinare la controimmagine diel vettore v=(-4,k+3,k-9) al variare di k.
Sostituisco questo vettore in una colonna della matrice associata all'endomorfismo, e calcolo k in modo che il rango di questa nuova matrice sia uguale a quello della matrice originaria.
-Esibire un vettore di IR^3 privo di controimmagine: su questo ho dei dubbi e non sono sicuro di come si svolga.
Grazie mille in anticipo!
Preso, ad esempio, l'endomorfismo:
f((x,y,z))=(x-2y+3, -2x+4y-6z, x-2y+3z)
-Trovare una base e la dimensione di ker.
La dim di ker è semplicemente n-dim(im). Per trovarne una base, faccio un sistema lineare, con tante equazioni quanto è il rango della matrice (praticamente elimino le equazioni proporzionali), e avendo quindi un tot di variabili libere.
-Determina le immagini tramite f dei vettori u1,u2,u3 al variare di un parametro.
Per ogni vettore, non faccio altro che sostituire le sue coordinate nell'endomorfismo.
Ad esempio, con u1=(0,2h+1,0), ho f((u1))= (-4h-2, 8h+4, -4h-2)
E similmente anche u2 e u3.
-Trova, se esistono, i valori del parametro h per i quali [u1,u2,u3] sia una base di IR^3.
Prendo questi 3 vettori e li metto sulle righe di una matrice.
Allora trovo i valori di h per cui questa matrice avrà determinante diverso da 0.
-Determinare la controimmagine diel vettore v=(-4,k+3,k-9) al variare di k.
Sostituisco questo vettore in una colonna della matrice associata all'endomorfismo, e calcolo k in modo che il rango di questa nuova matrice sia uguale a quello della matrice originaria.
-Esibire un vettore di IR^3 privo di controimmagine: su questo ho dei dubbi e non sono sicuro di come si svolga.
Grazie mille in anticipo!
Risposte
Anche io ho un paio di cose da chiederti 
E la base come la determini? E $dim(Im(f))$?
Sai anche dire perché questa cosa funziona?
Sei sicuro di sapere cosa sia la controimmagine di un vettore rispetto ad un endomorfismo?
E' collegata alla precedente, risolverei prima le ambiguità di quella
"Fabrizio1992":
-Trovare una base e la dimensione di ker.
La dim di ker è semplicemente n-dim(im). Per trovarne una base, faccio un sistema lineare, con tante equazioni quanto è il rango della matrice (praticamente elimino le equazioni proporzionali), e avendo quindi un tot di variabili libere.
E la base come la determini? E $dim(Im(f))$?
"Fabrizio1992":
-Trova, se esistono, i valori del parametro h per i quali [u1,u2,u3] sia una base di IR^3.
Prendo questi 3 vettori e li metto sulle righe di una matrice.
Allora trovo i valori di h per cui questa matrice avrà determinante diverso da 0.
Sai anche dire perché questa cosa funziona?
"Fabrizio1992":
-Determinare la controimmagine diel vettore v=(-4,k+3,k-9) al variare di k.
Sostituisco questo vettore in una colonna della matrice associata all'endomorfismo, e calcolo k in modo che il rango di questa nuova matrice sia uguale a quello della matrice originaria.
Sei sicuro di sapere cosa sia la controimmagine di un vettore rispetto ad un endomorfismo?
"Fabrizio1992":
-Esibire un vettore di IR^3 privo di controimmagine: su questo ho dei dubbi e non sono sicuro di come si svolga.
E' collegata alla precedente, risolverei prima le ambiguità di quella
Mi scuso, per prima cosa, per non aver utilizzato le formule.
Allora, cerco di risponderti
-La dimensione dell'immagine l'avrei determinata con il rango della matrice associata A (e una base la troverei con i vettori linearmente indipendenti di A).
-Se il determinante non è nullo, il rango della matrice formata da questi vettori sarà 3, ovvero sono tre vettori linearmente indipendenti. Per definizione di base (insieme di vettori linearmente indipendenti), questa sarà allora base per IR^3.
-La controimmagine di un vettore v rispetto ad un endomorfismo dovrebbe essere fatta da tutti i vettori ai quali, se è applicata la trasformazione, danno proprio v.
In effetti non so quale sia la motivazione teorica alla base di questo presunto metodo, è un modo che ho "imparato" senza capirne il motivo e questo in effetti è il motivo principale della mia incertezza. E si vede che te ne sei reso conto, visto che mi hai fatto queste domande per vedere se io non abbia imparato il tutto a memoria senza avere idea xD.
Diciamo che per gli ultimi due quesiti che ti ho posto, si, devo ammettere che non ho idea del perché io usi questi metodi:D
Grazie mille in anticipo (prendo le risposte alla prima e alla seconda come una conferma comunque)
Allora, cerco di risponderti
-La dimensione dell'immagine l'avrei determinata con il rango della matrice associata A (e una base la troverei con i vettori linearmente indipendenti di A).
-Se il determinante non è nullo, il rango della matrice formata da questi vettori sarà 3, ovvero sono tre vettori linearmente indipendenti. Per definizione di base (insieme di vettori linearmente indipendenti), questa sarà allora base per IR^3.
-La controimmagine di un vettore v rispetto ad un endomorfismo dovrebbe essere fatta da tutti i vettori ai quali, se è applicata la trasformazione, danno proprio v.
In effetti non so quale sia la motivazione teorica alla base di questo presunto metodo, è un modo che ho "imparato" senza capirne il motivo e questo in effetti è il motivo principale della mia incertezza. E si vede che te ne sei reso conto, visto che mi hai fatto queste domande per vedere se io non abbia imparato il tutto a memoria senza avere idea xD.
Diciamo che per gli ultimi due quesiti che ti ho posto, si, devo ammettere che non ho idea del perché io usi questi metodi:D
Grazie mille in anticipo (prendo le risposte alla prima e alla seconda come una conferma comunque)
Vedo che hai capito lo spirito 
Una base di cosa? Mica del nucleo, spero Pensa ad una matrice che ha rango 3 (quindi il nucleo sarà banale, cioè formato solo dal vettore nullo): le 3 colonne sono linearmente indipendenti, ma non si sognano di essere base del $ker(f)$! Invece sono una base di $Im(f)$ Idem quando il rango scende (questo fatto, chiaramente, si può dimostrare).
Più che altro, non mi viene in mente una ragione per cui quel metodo dovrebbe funzionare, e l'intuito (ma per ora solo quello) mi dice che un controesempio è facilmente producibile. Ma magari qualcuno ci può illuminare sul contrario.
Nell'attesa, io cercherei di risolvere il sistema $Ax=b$, dove $A$ è la matrice associata all'endomorfismo, $x$ è il vettore incognito (la preimmagine, che potrebbe anche dipendere da vari parametri... dipende dalla dimensione del nucleo) che vorrei determinare e $b$ è il vettore dato. In questo modo, determini tutti e soli i vettori $x$ che vengono mappati in $b=v$ tramite l'endomorfismo. Chiaramente, per risolvere questo sistema ci sono varie tecniche (a seconda, anche, del tipo di sistema). Immagino/mi auguro tu ne conosca alcune.
Per trovare i vettori che non hanno preimmagine, invece, bisogna innanzitutto stabilire se ne esistono. Questo accade se e solo se l'applicazione non è surgettiva, e ciò accade se $dim(Im(f))
PS: Mi sono accorto che ho usato la parola "preimmagine" per indicare la "controimmagine". Sono sinonimi!
"Fabrizio1992":
e una base la troverei con i vettori linearmente indipendenti di A
Una base di cosa? Mica del nucleo, spero
Pensa ad una matrice che ha rango 3 (quindi il nucleo sarà banale, cioè formato solo dal vettore nullo): le 3 colonne sono linearmente indipendenti, ma non si sognano di essere base del $ker(f)$! Invece sono una base di $Im(f)$ Idem quando il rango scende (questo fatto, chiaramente, si può dimostrare)."Fabrizio1992":
In effetti non so quale sia la motivazione teorica alla base di questo presunto metodo, è un modo che ho "imparato" senza capirne il motivo e questo in effetti è il motivo principale della mia incertezza. E si vede che te ne sei reso conto, visto che mi hai fatto queste domande per vedere se io non abbia imparato il tutto a memoria senza avere idea xD
Più che altro, non mi viene in mente una ragione per cui quel metodo dovrebbe funzionare, e l'intuito (ma per ora solo quello) mi dice che un controesempio è facilmente producibile. Ma magari qualcuno ci può illuminare sul contrario.
Nell'attesa, io cercherei di risolvere il sistema $Ax=b$, dove $A$ è la matrice associata all'endomorfismo, $x$ è il vettore incognito (la preimmagine, che potrebbe anche dipendere da vari parametri... dipende dalla dimensione del nucleo) che vorrei determinare e $b$ è il vettore dato. In questo modo, determini tutti e soli i vettori $x$ che vengono mappati in $b=v$ tramite l'endomorfismo. Chiaramente, per risolvere questo sistema ci sono varie tecniche (a seconda, anche, del tipo di sistema). Immagino/mi auguro tu ne conosca alcune.
Per trovare i vettori che non hanno preimmagine, invece, bisogna innanzitutto stabilire se ne esistono. Questo accade se e solo se l'applicazione non è surgettiva, e ciò accade se $dim(Im(f))
PS: Mi sono accorto che ho usato la parola "preimmagine" per indicare la "controimmagine". Sono sinonimi!
Una base di cosa? Mica del nucleo, spero
Nono, intendevo dell'immagine, almeno questo mi era chiaro
Per il resto, solo una cosa non mi è chiara: in che senso la controimmagine dipende dalla dimensione del nucleo? Mi servono tante variabili quanto è la dimensione del ker per determinare il vettore incognito?
Innanzitutto puoi considerare che, dato un qualsiasi spazio vettoriale $V$ di dimensione $dim(V)=n$ (nel nostro caso $V=\mathbb{R}^3$ e $n=3$, ma queste considerazioni valgono più in generale), un endomorfismo $f:V \rarr V$ è iniettivo se e solo se $ker(f)={0_V}$, cioè il nucleo contiene solo l'elemento nullo (nel nostro caso, il vettore $(0,0,0)$). Ma allora, per il teorema di nullità più rango:
$dim(V)=dim(Im(f))+dim(ker(f))$ e quindi $n=dim(Im(f))+0$.
Quindi l'immagine di $f$ è un sottospazio vettoriale di $V$ che ha la stessa dimensione di $V$. Questo vuol dire che non c'è storia: $Im(f)=V$, quindi $f$ è suriettivo.
In definitiva, un endomorfismo iniettivo è per forza di cose bigettivo.
Quindi dato un vettore $u$ qualsiasi di $\mathbb{R}^3$, se $ker(f)={(0,0,0)}$, $u$ ammette sempre un'unica preimmagine (e anche un'unica immagine, ovviamente) tramite $f$.
Questo è il caso "bello", perché si ha una corrispondenza uno a uno, e non ci sono vettori senza preimmagine.
C'è poi la possibilità di proseguire l'indagine, e capire cosa succede invece quando il nucleo è più "affollato". Innanzitutto cade subito l'iniettività, di conseguenza (sempre per nullità più rango) la suriettività e quindi non c'è speranza di bigettività. Questo significa (oltre al fatto che esistono vettori che non hanno preimmagine tramite $f$) che la corrispondenza non è più uno a uno, ma ad un vettore in $Im(f)$ corrisponde una preimmagine formata da numerosi (infiniti) vettori.
Quanti sono? Sono esattamente tanti quanti i vettori del nucleo. Anzi, dato $u \in Im(f)$ e trovato un componente $v \in f^{-1}(u)$, tutti gli altri elementi della preimmagine $f^{-1}(u)$ si ottengono sommando tutti gli elementi del nucleo a $v$ stesso. Cioè $\forall w \in ker(f)$ si ha che $f(v+w)=u$ (la dimostrazione sfrutta la linearità di $f$). Non solo, ma è abbastanza facile mostrare che se $w \notin ker(f)$, $f(v+w)!=u$.
Questo ci porta a concludere che la preimmagine di $u \in Im(f)$, dato $v \in V$ tale che $f(v)=u$, è l'insieme $f^{-1}(u)={\overline{v} \in V : \overline{v}=v+w, \forall w \in ker(f) }$
In soldoni, si può usare il nucleo per "traslare" un vettore della preimmagine in tutte e sole le maniere possibili tali che i vettori ottenuti rimangano all'interno della preimmagine.
Ora si potrebbe discutere sul fatto che quello sopra fosse il caso "bello", poiché a mio avviso questa "scoperta" è molto più affascinante dei fatti sopra
Spero di non aver complicato troppo il discorso, questa sera non mi escono bene le spiegazioni
EDIT: Nota che il secondo caso generalizza il primo "bello". Nota anche che le preimmagini dei singoli vettori hanno la stessa dimensione del nucleo (intuitivamente, essendo ottenute per "traslazione" di esso).
$dim(V)=dim(Im(f))+dim(ker(f))$ e quindi $n=dim(Im(f))+0$.
Quindi l'immagine di $f$ è un sottospazio vettoriale di $V$ che ha la stessa dimensione di $V$. Questo vuol dire che non c'è storia: $Im(f)=V$, quindi $f$ è suriettivo.
In definitiva, un endomorfismo iniettivo è per forza di cose bigettivo.
Quindi dato un vettore $u$ qualsiasi di $\mathbb{R}^3$, se $ker(f)={(0,0,0)}$, $u$ ammette sempre un'unica preimmagine (e anche un'unica immagine, ovviamente) tramite $f$.
Questo è il caso "bello", perché si ha una corrispondenza uno a uno, e non ci sono vettori senza preimmagine.
C'è poi la possibilità di proseguire l'indagine, e capire cosa succede invece quando il nucleo è più "affollato". Innanzitutto cade subito l'iniettività, di conseguenza (sempre per nullità più rango) la suriettività e quindi non c'è speranza di bigettività. Questo significa (oltre al fatto che esistono vettori che non hanno preimmagine tramite $f$) che la corrispondenza non è più uno a uno, ma ad un vettore in $Im(f)$ corrisponde una preimmagine formata da numerosi (infiniti) vettori.
Quanti sono? Sono esattamente tanti quanti i vettori del nucleo. Anzi, dato $u \in Im(f)$ e trovato un componente $v \in f^{-1}(u)$, tutti gli altri elementi della preimmagine $f^{-1}(u)$ si ottengono sommando tutti gli elementi del nucleo a $v$ stesso. Cioè $\forall w \in ker(f)$ si ha che $f(v+w)=u$ (la dimostrazione sfrutta la linearità di $f$). Non solo, ma è abbastanza facile mostrare che se $w \notin ker(f)$, $f(v+w)!=u$.
Questo ci porta a concludere che la preimmagine di $u \in Im(f)$, dato $v \in V$ tale che $f(v)=u$, è l'insieme $f^{-1}(u)={\overline{v} \in V : \overline{v}=v+w, \forall w \in ker(f) }$
In soldoni, si può usare il nucleo per "traslare" un vettore della preimmagine in tutte e sole le maniere possibili tali che i vettori ottenuti rimangano all'interno della preimmagine.
Ora si potrebbe discutere sul fatto che quello sopra fosse il caso "bello", poiché a mio avviso questa "scoperta" è molto più affascinante dei fatti sopra
Spero di non aver complicato troppo il discorso, questa sera non mi escono bene le spiegazioni
EDIT: Nota che il secondo caso generalizza il primo "bello". Nota anche che le preimmagini dei singoli vettori hanno la stessa dimensione del nucleo (intuitivamente, essendo ottenute per "traslazione" di esso).
Spero di non aver complicato troppo il discorso, questa sera non mi escono bene le spiegazioni
No, anzi, chiarissimo e gentilissimo!
Se le spiegazioni non sono intuitive al massimo è per l'argomento che risulta abbastanza "intricato" (o meglio incasinato). Ma è esaustivo: grazie!
Chiamandosi algebra lineare non dovrebbe risultare intricata Ad ogni modo, se non si capisce qualche passaggio posso cercare altre parole
Ad ogni modo, se non si capisce qualche passaggio posso cercare altre parole
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