Problema teorico sugli endomorfismi autoaggiunti
salve a tutti sto preparando l'esame di geometria 1 in un corso di ingegneria quindi immagino la banalità della mia domanda ma purtroppo non riesco a trovare una risposta da nessuna parte:
gramshmidt mi permette di ortonormalizzare una base B di un V R-Spazio Vettoriale.
Lavorando sugli endomorfismi autoaggiunti vi è un teorema che recita: " sia \(\phi \)endomorfismo semplice di \((V_{}^{n},\bullet) \) e siano \(\Lambda_{1},.......,\Lambda_{n}\) i suoi autovalori.
\(\phi\)è autoaggiunto \(\Longleftrightarrow \ V_{\Lambda_{i}}\bot V_{\Lambda_{j}} \) per ogni i≠j
ora si dimostra la freccia verso sinistra dicendo che: essendo semplice esiste una base composta da autovettori (la somma degli autospazi è diretta dunque una somma delle basi degli autospazi è una base di V composta da autovettori) ora se noi ortonaomaliziamo ogni singola base di ogni autospazio ottengo una base normale di V. Ora l'ipotesi \( \ V_{\Lambda_{i}}\bot V_{\Lambda_{j}} \) per ogni i≠j mi permette dio dire che i vettori tra le basi differenti degli autospazi sono ortogonali ottengo dunque una base ortonomale di V composta da autovettori.
Il ragonamento l'ho capito ma non comprendo come mai sia necessaria l'ipotesi di partenza \( \ V_{\Lambda_{i}}\bot V_{\Lambda_{j}} \) per ogni i≠j.....
una volta ottenuta una base di B con un endomorfismo semplice non posso ortonormalizzarla da sola con gramshmidt ottenendo una base ortonormale? capisco già che ciò è impossibile dato che se fosse vero ogni endomorfismo semplice che ha come dominio uno spazio vettoriale euclideo è pure autoaggiunto ma non capisco dove sbaglio.......
gramshmidt mi permette di ortonormalizzare una base B di un V R-Spazio Vettoriale.
Lavorando sugli endomorfismi autoaggiunti vi è un teorema che recita: " sia \(\phi \)endomorfismo semplice di \((V_{}^{n},\bullet) \) e siano \(\Lambda_{1},.......,\Lambda_{n}\) i suoi autovalori.
\(\phi\)è autoaggiunto \(\Longleftrightarrow \ V_{\Lambda_{i}}\bot V_{\Lambda_{j}} \) per ogni i≠j
ora si dimostra la freccia verso sinistra dicendo che: essendo semplice esiste una base composta da autovettori (la somma degli autospazi è diretta dunque una somma delle basi degli autospazi è una base di V composta da autovettori) ora se noi ortonaomaliziamo ogni singola base di ogni autospazio ottengo una base normale di V. Ora l'ipotesi \( \ V_{\Lambda_{i}}\bot V_{\Lambda_{j}} \) per ogni i≠j mi permette dio dire che i vettori tra le basi differenti degli autospazi sono ortogonali ottengo dunque una base ortonomale di V composta da autovettori.
Il ragonamento l'ho capito ma non comprendo come mai sia necessaria l'ipotesi di partenza \( \ V_{\Lambda_{i}}\bot V_{\Lambda_{j}} \) per ogni i≠j.....
una volta ottenuta una base di B con un endomorfismo semplice non posso ortonormalizzarla da sola con gramshmidt ottenendo una base ortonormale? capisco già che ciò è impossibile dato che se fosse vero ogni endomorfismo semplice che ha come dominio uno spazio vettoriale euclideo è pure autoaggiunto ma non capisco dove sbaglio.......
Risposte
allora nessuno riesce a rispondermi?
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