Semplicità endomorfismo al variare di k
salve a tutti, dovrei definire se l'endomorfismo $ f(x,y,z)=(-2kx-y+kx, x+z, kz) $ è semplice al variare del parametro k.
adesso calcolo la matrice associata A a f $ | ( -2k , -1 , k ),( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , k ) | $
calcolo il polinomio caratteristico $ (A(f)- lambda*I ) $
mi viene $ -(k - lambda)*(lambda^2 + 2 k*lambda + 1) $ SBAGLIATO
e mi trovo quindi gli autovalori che sono le soluzioni reali del polinomio caratteristico
$ lambda = k $ e $ lambda = -k $
adesso sorge il mio problema, perchè di solito senza il parametro vedo se le soluzioni sono distinte e concludo con la semplicità o meno, qui invece ottengo 2 autovalori k e -k con questi cosa dovrei fare? e in questo caso la molteplicità é 2 ? dopo di che li dovrei sostituire nel polinomio caratteristico, calcolare il determinante della matrice ma per ora mi sembra inutile se non vengo a capo del problema sopra
update
ho capito dove ho sbagliato , il calcolo del determinante è in verità cosi senza il meno d'avanti , faccio l'esercizio qui almeno puo essere utile a altri.
$ (k - lambda)*(lambda^2 + 2 k*lambda + 1) $
mi trovo quindi gli autovalori che sono le soluzioni reali del polinomio caratteristico considerando il discriminante di
$ lambda^2 + 2 k*lambda + 1=0 $
$ Delta = k^2 -1 segue Delta>= 0 $
allora:
per $ -1
per $ k<-1 e k>1 $
$ lambda 1=k $
$ lambda 2=-k -root(2)(k^2-1) $
$ lambda 3=-k +root(2)(k^2-1) $
con: $ lambda1 $ $ lambda2 $ $ lambda3 $ distinti
per $ k=1 $ segue $ lambda1 = 1 $ semplice e $ lambda2 = -1 $ doppia
faccio matrice : $ | ( -1 , -1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 2 ) | $ rango $ =2 $ SEGUE $ dim V2= 3-2=1 $ quindi f non é semplice perche $ 1 != 2 $ (moltepicità di $ lambda2 $ )
per $ k= -1 $ segue $ lambda1 = -1 $ semplice e $ lambda2 = 1 $ doppia
faccio matrice :$ | ( 1 , -1 , -1 ),( 1 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , -2 ) | $ rango $ =2 $ SEGUE $ dim V2= 3-2=1 $ quindi f non é semplice perche $ 1 != 2 $ (moltepicità di $ lambda2 $ )
potete dirmi se ho fatto bene?
adesso calcolo la matrice associata A a f $ | ( -2k , -1 , k ),( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , k ) | $
calcolo il polinomio caratteristico $ (A(f)- lambda*I ) $
mi viene $ -(k - lambda)*(lambda^2 + 2 k*lambda + 1) $ SBAGLIATO
e mi trovo quindi gli autovalori che sono le soluzioni reali del polinomio caratteristico
$ lambda = k $ e $ lambda = -k $
adesso sorge il mio problema, perchè di solito senza il parametro vedo se le soluzioni sono distinte e concludo con la semplicità o meno, qui invece ottengo 2 autovalori k e -k con questi cosa dovrei fare? e in questo caso la molteplicità é 2 ? dopo di che li dovrei sostituire nel polinomio caratteristico, calcolare il determinante della matrice ma per ora mi sembra inutile se non vengo a capo del problema sopra
update
ho capito dove ho sbagliato , il calcolo del determinante è in verità cosi senza il meno d'avanti , faccio l'esercizio qui almeno puo essere utile a altri.
$ (k - lambda)*(lambda^2 + 2 k*lambda + 1) $
mi trovo quindi gli autovalori che sono le soluzioni reali del polinomio caratteristico considerando il discriminante di
$ lambda^2 + 2 k*lambda + 1=0 $
$ Delta = k^2 -1 segue Delta>= 0 $
allora:
per $ -1
per $ k<-1 e k>1 $
$ lambda 1=k $
$ lambda 2=-k -root(2)(k^2-1) $
$ lambda 3=-k +root(2)(k^2-1) $
con: $ lambda1 $ $ lambda2 $ $ lambda3 $ distinti
per $ k=1 $ segue $ lambda1 = 1 $ semplice e $ lambda2 = -1 $ doppia
faccio matrice : $ | ( -1 , -1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 2 ) | $ rango $ =2 $ SEGUE $ dim V2= 3-2=1 $ quindi f non é semplice perche $ 1 != 2 $ (moltepicità di $ lambda2 $ )
per $ k= -1 $ segue $ lambda1 = -1 $ semplice e $ lambda2 = 1 $ doppia
faccio matrice :$ | ( 1 , -1 , -1 ),( 1 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , -2 ) | $ rango $ =2 $ SEGUE $ dim V2= 3-2=1 $ quindi f non é semplice perche $ 1 != 2 $ (moltepicità di $ lambda2 $ )
potete dirmi se ho fatto bene?
Risposte
up... mi scuso per l'up
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo