Esercizi su applicazioni lineari

[Atem1]

Sia $L: R_1[t]->R^3$ l'applicazione lineare data da $L(a+bt) = (-a, b+a, 7b)$
(1) Determinare nucleo ed immagine di L

E poi ci sono altre 2 domande, ma per il momento m'interessa questa perchè penso che se capisco questa capisco anche le altre. Noi abbiamo fatto esercizi solo con vettori e matrici...
Non abbiamo mai fatto esercizi del genere dove c'è il polinomio...

Allora io non capisco cosa sarebbe questo (a+bt)... E' una base?
Di solito leggo L(x,y) o L(t) ma questo (a+bt) proprio non lo capisco soprattutto perchè poi la t scompare nel calcolo dell'immagine...
Qualcuno mi spiega? Grazie mille...

[Sk_Anonymous]

$a+bt$ è semplicemente il generico polinomio di 1° grado a coefficienti in $mathbb{R}$. A questo polinomio puoi anche sostituire il vettore $(a,b)$, cosa permessa perché la corrispondenza che così si genera è un isomorfismo. In conseguenza di ciò l'applicazione L da studiare diventa una $L:mathbb{R^2}->mathbb{R^3}$ e così è forse più facile determinare nucleo ed immagine.

[Atem1]

"ciromario":$a+bt$ è semplicemente il generico polinomio di 1° grado a coefficienti in $mathbb{R}$. A questo polinomio puoi anche sostituire il vettore $(a,b)$, cosa permessa perché la corrispondenza che così si genera è un isomorfismo. In conseguenza di ciò l'applicazione L da studiare diventa una $L:mathbb{R^2}->mathbb{R^3}$ e così è forse più facile determinare nucleo ed immagine.

Ciao ciromario! Sono felicissimo di rileggerti
Comunque prima di postare io avevo pensato che la matrice associata fosse una da 3x2 che moltiplica una 2x1

$((-1,0),(1,1), (0,7)) * ((a),(b)) = ((-a),(a+b),(7b))$

Anch'io avevo pensato quello che hai scritto tu solo che non capivo come mai la t sparisse e ora come al solito mi rendo conto di essermi perso nel leggendario "bicchier d'acqua"...

Quindi praticamete la nostra base è $((a),(0)),((0),(b))$

Allora ho trovato che il rango di quella matrice è 2 per cui la dimensione dell'Immagine è 2 che è il numero delle colonne linearmente indipendenti e dunque una sua base è quella formata dalle 2 colonne di quella matrice visto che se (v1, v2...,vk) generano il dominio allora l'Immagine è generata da (F(v1), (Fv2)...(Fvk)):
$((-1),(1),(0))$, $((0),(1),(7))$ è base dell'immagine di quella funzione.
Mentre la base del nucleo è il vettor nullo per cui la funzione è iniettiva.

[Atem1]

"Atem":
Quindi praticamete la nostra base è $((a),(0)),((0),(b))$

Ma non è che ho scritto una cavolata qui?
La base che sto usando non dovrebbe essere la seguente?
$((1),(0)),((0),(1))$

Ma se è così perchè la seconda domanda dell'esercizio dice:
2)Determinare la matrice di $L$ rispetto alle basi canoniche $C$ e $C'$

Non stavo già usando le basi canoniche?
O forse sono io che prima di rispondere alla domanda 1 ho risposto alla 2 ?