La composizione di omomorfismi e' un omomorfismo. Verificare che valga la proprieta' associativa (?)

[giuscri]

Non ho alcun problema a dimostrare che la composizione di due omomorfismi fra spazi vettoriali sia ancora un omomorfismo -e quindi lo stesso posso dire della composizione di tre o piu' omomorfismi. Tuttavia, le dispense sulle quali sto studiando lasciano al lettore una strana verifica: associativita' e distributivita'. Ma mi chiedo, se volessi verificare che
\begin{equation*}
h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f \qquad f \in Hom(U,V),\; g \in Hom(V,W),\; h \in Hom(W,Z)
\end{equation*}
come potrei partire? Non e' insito nella scrittura che valga l'uguaglianza qui sopra?

[vict85]

Omomorfismi di cosa? Insomma con che oggetti stai lavorando?

Se invece intendi nella teoria dellle categorie penso che la domanda si un po' tautologica.

[giuscri]

"vict85":Omomorfismi di cosa? Insomma con che oggetti stai lavorando?

Se invece intendi nella teoria dellle categorie penso che la domanda si un po' tautologica.

Ops, mi scuso. Correggo il messaggio ora.

Comunque sto parlando di applicazioni lineari fra spazi vettoriali costruiti sul medesimo campo $\mathbb{K}$.

[apatriarca]

L'associatività della composizione di omomorfismi è chiaramente verificata in quanto la composizione di funzioni lo è. Mi chiedo piuttosto di quale operazione devi effettivamente verificarne associatività e distributività. Distributività rispetto a che cosa infatti?

EDIT: Ripensandoci probabilmente vuoi dimostrare che
\[ (f + g) \circ h = (f \ circ h) + (g \circ h) \]

[giuscri]

"apatriarca":EDIT: Ripensandoci probabilmente vuoi dimostrare che
\[ (f + g) \circ h = (f \circ h) + (g \circ h) \]

Sono stato parecchio impreciso. L'associativita' della composizione di omomorfismi fra spazi vettoriali, e la distributivita' di $+$ rispetto a $\circ$. Cioe', effettivamente,
\begin{equation*}
(f + g) \circ s = f \circ s + g \circ s \qquad f,g \in Hom(V,W),\; s \in Hom(U,V)
\end{equation*}
Ma la domanda si pone nuovamente: che cacchio devo dimostrare? Nel caso fossi rimasto ancora poco chiaro, a me verrebbe da riempire il foglio in questa maniera:
\begin{equation*}
(f + g) \circ h \equiv f \circ h + g \circ h\; .
\end{equation*}
$(f + g)$ su ogni $v$ agisce come
\begin{equation*}
f (v) + g (v)
\end{equation*}
solo che $f (v)$ si chiama $h(u)$.

Sto esagerando?

[apatriarca]

Devi fare qualcosa del genere:
\[ \bigl( (f + g) \circ h \bigr)(v) = (f + g) \bigl( h(v) \bigr) = f \bigl( h(v) \bigr) + g \bigl( h(v) \bigr) = (f \circ h)(v) + (g \circ h)(v) = \bigl( (f \circ h) + (g \circ h) \bigr) (v). \]
Ma hai comunque ragione nel dire che è tutto abbastanza ovvio e immediato. Probabilmente vuole una dimostrazione simile anche per l'associatività. Ma la dimostrazione più diretta richiede di osservare semplicemente che sono funzioni. Volendo fare i calcoli comunque:
\[ \bigl( (f \circ g) \circ h \bigr) (v) = (f \circ g) \bigl( h(v) \bigr) = f \Bigl( g \bigl( h(v) \bigr) \Bigr) = f \bigl( (g \circ h) (v) \bigr) = \bigl( f \circ (g \circ h) \bigr) (v). \]

[giuscri]

"apatriarca":Devi fare qualcosa del genere:
\[ \bigl( (f + g) \circ h \bigr)(v) = (f + g) \bigl( h(v) \bigr) = f \bigl( h(v) \bigr) + g \bigl( h(v) \bigr) = (f \circ h)(v) + (g \circ h)(v) = \bigl( (f \circ h) + (g \circ h) \bigr) (v). \]
Ma hai comunque ragione nel dire che è tutto abbastanza ovvio e immediato. Probabilmente vuole una dimostrazione simile anche per l'associatività. Ma la dimostrazione più diretta richiede di osservare semplicemente che sono funzioni. Volendo fare i calcoli comunque:
\[ \bigl( (f \circ g) \circ h \bigr) (v) = (f \circ g) \bigl( h(v) \bigr) = f \Bigl( g \bigl( h(v) \bigr) \Bigr) = f \bigl( (g \circ h) (v) \bigr) = \bigl( f \circ (g \circ h) \bigr) (v). \]

Mmm, si. Mi ritrovo.