[EX] `Dimostrare che la seguente applicazione e' iniettiva` (sp.vettoriali)

[giuscri]

Testo: sia $V$ un $\mathbb{K}$-spazio vettoriale. Sia
\begin{equation*}
F_{A} : V_{\mathbb{K}} \to \mathbb{K}^n
\end{equation*}
dove $A = \{\underline{a}_1, \ldots, \underline{a}_n\}$ e' una base di $V_{\mathbb{K}}$. Si trovi se $F_{A}$ sia iniettiva.

La linearita' e' piuttosto semplice da vedere se $A$ e' la base canonica. Se invece $A$ e' una base qualsiasi la scrittura mi pare diventi piu' arzigogolata. Io lo dimostrerei proprio nel modo `macchinetta`:
\begin{equation*}
(\underline{v} + \lambda \underline{w}) = (\underline{v} + \lambda \underline{w})_{1}^{(A)} \underline{a}_1 +
\ldots{} + (\underline{v} + \lambda \underline{w})_{n}^{(A)} \underline{a}_n
\end{equation*}
mentre $\underline{v}$ -o $\underline{w}$ in modo analogo- dovrei poterli scrivere come
\begin{equation*}
\underline{v} = v_1^{(A)} \underline{a}_1 + \ldots + v_n^{(A)} \underline{a}_n
\end{equation*}

Deve valere
\begin{equation*}
\underline{v} + \lambda \underline{w} = \underline{v} + \lambda \underline{w}
\Leftrightarrow \left( (\underline{v} + \lambda \underline{w})_{1}^{(A)} \right) -
\left( v_1^{(A)} + \lambda w_1^{(A)} \right) \underline{a}_1 + \ldots +
\left( (\underline{v} + \lambda \underline{w})_{n}^{(A)} \right) -
\left( v_n^{(A)} + \lambda w_n^{(A)} \right) \underline{a}_n = \underline{0}_V
\end{equation*}
che per l'indipendenza lineare degli $a_i$ deve avere tutti coefficienti nulli: $F_A$ e' lineare.

(Perche' temo di aver scritto qualcosa che poteva essere chiuso in un paio di righe piu' eleganti? )

Per dimostrare l'iniettivita' pero' non so da dove partire*. Forse una buona idea e' usare il teorema nullita'+rango. Se trovassi che $dimIm(F_A) \equiv dim(V)$... Ma dove parto? E se invece $F_{A}$ non fosse iniettiva? Come lo verifico?

Ringrazio per la pazienza,
Giuseppe

___
EDIT: potrei effettivamente sfruttare il teorema null+rank, come scrivevo prima.
Per un qualsiasi $\underline{v} \in V_{\mathbb{K}}$ ho
\begin{equation*}
\underline{v} = v_1 \underline{a}_1 + \ldots + v_n \underline{a}_n
\end{equation*}
quindi
\begin{align*}
F_A(\underline{v}) & = v_1 F_A(\underline{a}_1) + \ldots + v_n F_A(\underline{a}_n) \\
& = v_1 \underline{e}_1 + \ldots + v_n \underline{e}_n
\end{align*}
per la linearita' di $F_A$ verificata sopra.
Dunque $Im(F_A) \equiv span(\{\underline{e}_i\})$; allora $Ker(F_A) = 0$.
Che mi dite?

[j18eos]

Va bene, alternativamente, ti calcolavi il kernel...