[RISOLTO] Fissate le immagini di una base, l'applicazione lineare esiste ed e' unica.
Parto da un teorema che nelle dispense che sto utilizzando in questi giorni viene verificato in modo semplice:
sia $A \in M_{h \times n}(\mathbb{K})$ e $B \in M_{n \times t}(\mathbb{K})$ e $L_A : \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^h$ e $L_B : \mathbb{K}^t \to \mathbb{K}^n$ le corrispondenti applicazioni lineari. Allora
\begin{equation*}
L_A \circ L_B = L_{AB}
\end{equation*}
Il testo dimostra il teorema osservando che vale l'uguaglianza sui vettori della base canonica di $\mathbb{K}^t$. Immagino questo sia dovuto al fatto che fissate le immagini di una base, l'applicazione lineare che funziona in quel modo esiste ed e' unica. Sebbene questo si riallaccia ad un teorema di cui ho `digerito` la dimostrazione, non riesco a capire in che modo venga usato qui.
Per esempio, ci si riferisce forse al fatto che -sia $E = \{\underline{e}_1, \ldots, \underline{e}_t\}$ la base canonica in $\mathbb{K}^n$- posso scrivere sia
\begin{equation*}
(L_A \circ L_B) (\underline{e}_j) \stackrel{\text{def}}{=} L_{AB} (\underline{e}_j)
\end{equation*}
che
\begin{equation*}
L_{AB} (\underline{e}_j) \stackrel{\text{def}}{=} (L_A \circ L_B) (\underline{e}_j)
\end{equation*}
e dato che le due applicazioni lineari devono esistere, quella che funziona in quel modo e' unica, quindi vale l'uguaglianza?
...non so, forse. Rimane il fatto che sono alla ricerca di una comprensione piu' profonda del fatto.
Ringrazio per gli aiuti, intanto
sia $A \in M_{h \times n}(\mathbb{K})$ e $B \in M_{n \times t}(\mathbb{K})$ e $L_A : \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^h$ e $L_B : \mathbb{K}^t \to \mathbb{K}^n$ le corrispondenti applicazioni lineari. Allora
\begin{equation*}
L_A \circ L_B = L_{AB}
\end{equation*}
Il testo dimostra il teorema osservando che vale l'uguaglianza sui vettori della base canonica di $\mathbb{K}^t$. Immagino questo sia dovuto al fatto che fissate le immagini di una base, l'applicazione lineare che funziona in quel modo esiste ed e' unica. Sebbene questo si riallaccia ad un teorema di cui ho `digerito` la dimostrazione, non riesco a capire in che modo venga usato qui.
Per esempio, ci si riferisce forse al fatto che -sia $E = \{\underline{e}_1, \ldots, \underline{e}_t\}$ la base canonica in $\mathbb{K}^n$- posso scrivere sia
\begin{equation*}
(L_A \circ L_B) (\underline{e}_j) \stackrel{\text{def}}{=} L_{AB} (\underline{e}_j)
\end{equation*}
che
\begin{equation*}
L_{AB} (\underline{e}_j) \stackrel{\text{def}}{=} (L_A \circ L_B) (\underline{e}_j)
\end{equation*}
e dato che le due applicazioni lineari devono esistere, quella che funziona in quel modo e' unica, quindi vale l'uguaglianza?
...non so, forse. Rimane il fatto che sono alla ricerca di una comprensione piu' profonda del fatto.
Ringrazio per gli aiuti, intanto
Risposte
No, non ci siamo: che significa in generale \(f\circ g\)? Cosa c'entra col tuo problema?
"j18eos":
No, non ci siamo: che significa in generale \(f\circ g\)?
Ok. Lo prendo come un input per andare in quella direzione.
Entrambe le funzioni coinvolte nell'uguaglianza -giustamente- sono del tipo \(\mathbb{K}^t \to \mathbb{K}^h\). Fissata la base \(E = \{\underline{e}_1, \ldots{}, \underline{e}_t\}\) e \(t\) vettori in \(\mathbb{K}^h\) esiste un'unica applicazione lineare che mappa i vettori della base nei \(t\) vettori di \(\mathbb{K}^h\).
Si verifica* che vale
\begin{equation*}
\underline{e}_j \mapsto (AB) \cdot \underline{e}_j
\end{equation*}
sia per \(L_A \circ L_B\) che per \(L_{AB}\).
Dunque l'applicazione e' unica -i.e. le due scritture sono equivalenti.
"j18eos":
Cosa c'entra col tuo problema?
... non capisco la domanda.
Ti prego di essere molto critico nei miei confronti -che sull'argomento sono parecchio insicuro.
Grazie per avermi dato una risposta comunque.
___
* Infatti: \[(L_A \circ L_B) (\underline{e}_j) = L_A (L_B (\underline{e}_j)) = L_A (B \underline{e}_j) = A (B \underline{e}_j) = (AB) \underline{e}_j\] mentre \[L_{AB} (\underline{e}_j) = AB (\underline{e}_j)\].
Esatto, fissate le immagini dei vettori di una base di uno spazio vettoriale su un campo resta univocamente fissata un'applicazione lineare; nel tuo caso bastava esplicitare la scrittura \(L_A\circ L_B\) ottenendo così la tesi.
Questo era il mio suggerimento!
Questo era il mio suggerimento!
"j18eos":
Esatto, fissate le immagini dei vettori di una base di uno spazio vettoriale su un campo resta univocamente fissata un'applicazione lineare; nel tuo caso bastava esplicitare la scrittura \(L_A\circ L_B\) ottenendo così la tesi.
Questo era il mio suggerimento!
Ti ringrazio!
Prego, di nulla!
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