Significato geometrico di un sistema con parametro k.

[alkey]

Buongiorno a tutti.
Un esercizio mi chiede di determinare le soluzioni del sistema
Kx + ky + Kz= K
x + Ky + Kz= 1
x + y + Kz= 1
illustrando il loro significato geometrico per ogni K.
Per risolverlo ho scritto il sistema sotto matrice e ho calcolato il rango della matrice incompleta che mi da per:
K=0 Rank(A)= 2
K=1 Rank(A)= 1
K diverso da 0 e 1 Rank(A)=3
per la matrice completa ottengo lo stesso rango per i diversi valori di K. Quindi per Rouchè-Capelli il sistema è determinato e precisamente ho per:
K diverso da 0 e 1 una soluzzione
K=0 infinito alla 3-2 soluzioni
K=1 infinito alla 3-1 soluzioni.


Però non so come illustrare il loro significato geometrico. Come devo procedere? grazieeeee...

[Sk_Anonymous]

A) Per $k=0$ il sistema si riduce a :
\(\displaystyle \begin{cases} x=1\\y=0 \end{cases} \)
Il luogo delle soluzioni è la retta r ( vedi figura) che giace nel piano $xz$ ed è parallela all'asse $z$

B) Per $k=1$ il sistema si riduce alla sola equazione $x+y+z=1$
Il luogo delle soluzioni è quindi l'intero piano di equazione $x+y+z=1$

C) Per $k ne 0,1$ il sistema diventa :
\(\displaystyle \begin{cases}x+y+z=1\\x+ky+kz=1\\x+y+kz=1\end{cases} \)
che ha la sola soluzione : $x=1,y=0,z=0$
Perciò il luogo delle soluzioni è il solo punto dello spazio $S(1,0,0)$

[alkey]

Perfetto!! grazie tante è stato chiarissimo..
Anzi un'ultima domanda. Per [size=150]k ≠ 0,1[/size] scrivo il sistema dando un valore diverso da 0 e 1, e trovo le soluzioni giusto?? Però perchè ha scritto il sistema dando il valore[size=150] K=1[/size] alla prima equazione e le altre le ha lasciate normali? K è diverso da uno!!!

[Sk_Anonymous]

Nel terzo caso non ho dato nessun valore a K. Ho semplicemente diviso la prima equazione per K ed ho lasciato invariate le altre due equazioni.
P.S. Presumo che k e K siano lo stesso simbolo e che tu abbia scritto "k" minuscolo e "K" maiuscolo solo per sbaglio...

[alkey]

ah si si ok capito!! Gentilissimo, grazie tante!