Esercizio sottospazi vettoriali :S
l'ho scritto con le formule spero possiate aiutarmi:
fissata la matrice A= $((2,0),(1,1))$ dello spazio vettoriale $RR2,2$
1)stabilire che V=(X $in$ $RR2,2$ |AX=XA) è un sottospazio di $RR2,2$.
2)scrivere le equazioni nella base naturale di $RR2,2$ di V, determinare dimensione ed una base
3)determinare un supplementare W di V in $RR2,2$
4)esprimere la matrice B=$((1,1),(1,1))$ come somma di due matrici V e W.
fissata la matrice A= $((2,0),(1,1))$ dello spazio vettoriale $RR2,2$
1)stabilire che V=(X $in$ $RR2,2$ |AX=XA) è un sottospazio di $RR2,2$.
2)scrivere le equazioni nella base naturale di $RR2,2$ di V, determinare dimensione ed una base
3)determinare un supplementare W di V in $RR2,2$
4)esprimere la matrice B=$((1,1),(1,1))$ come somma di due matrici V e W.
Risposte
Hai dimenticato una cosa fondamentale: i tuoi tentativi!
Dov'è che ti blocchi esattamente? Riesci ad impostare qualcosa oppure vai in stato catatonico subito dopo aver letto la consegna
?
Paola
Dov'è che ti blocchi esattamente? Riesci ad impostare qualcosa oppure vai in stato catatonico subito dopo aver letto la consegna
?Paola
non riesco a capire niente dell'esercizio i blocco proprio non riesco a muovermi in ambito di spazi vettoriali con le matrici per favore dammi una mano
Per rispondere alla prima domanda, basati semplicemente sulla definizione di sottospazio vettoriale...
Prese due matrici qualsiasi \(X\) e \(Y\) di \(\mathcal V\), la loro somma \(X+Y\) è ancora un elemento di \(\mathcal V\)?
Presa una qualunque matrice \(X\) di \(\mathcal V\) e un qualsiasi numero reale \(\alpha\), la matrice \(\alpha X\) è ancora un elemento di \(\mathcal V\)?
Prese due matrici qualsiasi \(X\) e \(Y\) di \(\mathcal V\), la loro somma \(X+Y\) è ancora un elemento di \(\mathcal V\)?
Presa una qualunque matrice \(X\) di \(\mathcal V\) e un qualsiasi numero reale \(\alpha\), la matrice \(\alpha X\) è ancora un elemento di \(\mathcal V\)?
mi puoi fare un esempio di matrice di V? non capisco quell'AX=XA non riesco proprio a capirlo questo esercizio diciamo che la teoria alla base sui sottospazi c'è perchè conosco le varie definizioni ho già fatto esercizi del genere ma non capisco questo esercizio
Devi solo ricordare le proprietà del prodotto tra matrici e applicare la definizione di sottospazio vettoriale.
Chiaramente la matrice nulla $0$ appartiene a $V$ in quanto $A0=0=0A$.
Siano ora $X,Y$ due matrici di $V$. Questo significa che hai $XA=AX$ e $YA=AY$. Ora, ci chiediamo: è vero che $X+Y$ appartiene a $V$, ovvero in altre parole, è vero che $(X+Y)A=A(X+Y)$?
Basta applicare la proprietà distributiva:
$(X+Y)A=XA+YA=$(uso l'ipotesi!)$=AX+AY=$(distributiva di nuovo$=A(X+Y)$. Quindi la risposta è SI.
Ora prova tu a verificare che data $X$ in $V$ e una costante reale $\alpha$ si ha $\alpha X\in V$.
Paola
Chiaramente la matrice nulla $0$ appartiene a $V$ in quanto $A0=0=0A$.
Siano ora $X,Y$ due matrici di $V$. Questo significa che hai $XA=AX$ e $YA=AY$. Ora, ci chiediamo: è vero che $X+Y$ appartiene a $V$, ovvero in altre parole, è vero che $(X+Y)A=A(X+Y)$?
Basta applicare la proprietà distributiva:
$(X+Y)A=XA+YA=$(uso l'ipotesi!)$=AX+AY=$(distributiva di nuovo$=A(X+Y)$. Quindi la risposta è SI.
Ora prova tu a verificare che data $X$ in $V$ e una costante reale $\alpha$ si ha $\alpha X\in V$.
Paola
inizio a capire quindi ho $\alpha*AX=alpha*XA$, posso scrivere $X*(alpha*A)=(alpha*A)*X$ quindi è provato? credo di aver sbagliato non so perchè mi blocco totalmente, e soprattutto quando mi chiede di trovare una base e una dimensione questo esercizio mi fa esaurire
Dal modo in cui hai scritto quest'ultima uguaglianza (che è corretta, per carità) non mi pare che tu stia seguendo il flusso logico che ti è stato suggerito...
Prendiamo una generica \(X \in \mathcal V\). Tu devi verificare che, posto \(Y:=\alpha X\), si ha \(Y \in \mathcal V\), cioè che \(AY = YA\).
Ora, per le proprietà del prodotto tra matrici e di una matrice per un numero reale, si ha
\(AY = A(\alpha X) = \alpha (AX) =\) (ipotesi che \(X \in \mathcal V\)) \(=\alpha (XA) = (\alpha X)A = YA\), e si va a casa.
Prendiamo una generica \(X \in \mathcal V\). Tu devi verificare che, posto \(Y:=\alpha X\), si ha \(Y \in \mathcal V\), cioè che \(AY = YA\).
Ora, per le proprietà del prodotto tra matrici e di una matrice per un numero reale, si ha
\(AY = A(\alpha X) = \alpha (AX) =\) (ipotesi che \(X \in \mathcal V\)) \(=\alpha (XA) = (\alpha X)A = YA\), e si va a casa.
perfetto ho capito ora resta però il fatto che mi chiede di trovare le equazioni una base e una dimensione, ora so che la dimensione è il numero massimo di matrici indipendenti (in questo caso) oppure il numero minimo di generatori, quindi 4 matrici dovrebbero generare il sottospazio V giusto??? e come le trovo???
Calma, sei fuori strada... Comincia a scrivere le equazioni cartesiane di \(\mathcal V\), da lì segue tutto il resto.
La generica matrice \(X\in\mathbb R^{2,2}\) (usando la tua notazione) la puoi scrivere come
$X=((x_1,x_2),(x_3,x_4)) = x_1 \mathbf e_1 + x_2 \mathbf e_2 + x_3 \mathbf e_3 + x_4 \mathbf e_4$,
dove \(\{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3,\mathbf e_4\}\) è la "base naturale" di \(\mathbb R^{2,2}\):
$\mathbf e_1 = ((1,0),(0,0))$, $\mathbf e_2 = ((0,1),(0,0))$, $\mathbf e_3 = ((0,0),(1,0))$, $\mathbf e_4 = ((0,0),(0,1))$.
Per ricavare le equazioni cartesiane (cioè in termini delle coordinate $x_1,x_2,x_3,x_4$) di \(\mathcal V\), basta che imponi
$AX=XA$; ti verranno 4 equazioni in queste 4 incognite. Ovviamente, affinché \(\mathcal V\) sia
un sottospazio di \(\mathbb R^{2,2}\), almeno una di queste 4 equazioni dev'essere dipendente dalle altre 3...
Insomma, avrai capito che il problema è completamente analogo al determinare
base e dimensione di un sottospazio di $RR^4$ di cui siano note le equazioni cartesiane
(il tuo $RR^{2,2}$ non è altro che un $RR^4$ i cui elementi hanno le componenti disposte in una tabella
2x2 invece che in una riga/colonna di 4 numeri). Magari hai già fatto esercizi di questo tipo
e vedendolo in questo modo ti "spaventa" di meno.
Sono proprio le equazioni cartesiane di \(\mathcal V\) che ti daranno la risposta
alla domanda che facevi in precedenza, cioè "mi fai un esempio
di matrice di \(\mathcal V\)?" Comunque, cerca di andare avanti da solo adesso.
La generica matrice \(X\in\mathbb R^{2,2}\) (usando la tua notazione) la puoi scrivere come
$X=((x_1,x_2),(x_3,x_4)) = x_1 \mathbf e_1 + x_2 \mathbf e_2 + x_3 \mathbf e_3 + x_4 \mathbf e_4$,
dove \(\{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3,\mathbf e_4\}\) è la "base naturale" di \(\mathbb R^{2,2}\):
$\mathbf e_1 = ((1,0),(0,0))$, $\mathbf e_2 = ((0,1),(0,0))$, $\mathbf e_3 = ((0,0),(1,0))$, $\mathbf e_4 = ((0,0),(0,1))$.
Per ricavare le equazioni cartesiane (cioè in termini delle coordinate $x_1,x_2,x_3,x_4$) di \(\mathcal V\), basta che imponi
$AX=XA$; ti verranno 4 equazioni in queste 4 incognite. Ovviamente, affinché \(\mathcal V\) sia
un sottospazio di \(\mathbb R^{2,2}\), almeno una di queste 4 equazioni dev'essere dipendente dalle altre 3...
Insomma, avrai capito che il problema è completamente analogo al determinare
base e dimensione di un sottospazio di $RR^4$ di cui siano note le equazioni cartesiane
(il tuo $RR^{2,2}$ non è altro che un $RR^4$ i cui elementi hanno le componenti disposte in una tabella
2x2 invece che in una riga/colonna di 4 numeri). Magari hai già fatto esercizi di questo tipo
e vedendolo in questo modo ti "spaventa" di meno.
Sono proprio le equazioni cartesiane di \(\mathcal V\) che ti daranno la risposta
alla domanda che facevi in precedenza, cioè "mi fai un esempio
di matrice di \(\mathcal V\)?" Comunque, cerca di andare avanti da solo adesso.
sei grande ti ringrazio
ciao kekko mi puoi contattare ... ho lo stesso esercizio e lo stesso problema ... aiutami grazie
"kekko022":
inizio a capire quindi ho $\alpha*AX=alpha*XA$, posso scrivere $X*(alpha*A)=(alpha*A)*X$ quindi è provato? credo di aver sbagliato non so perchè mi blocco totalmente, e soprattutto quando mi chiede di trovare una base e una dimensione questo esercizio mi fa esaurire
ciao kekko022 avrei bisogno della spiegazione dello stesso esercizio .. queste sono le tracce del docente marino .. non la so fare e devo fare un esame !
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo