Esercizio parabola
ciao a tutti
ecco un esercizio che non riesco ad impostare
tra le parabole tangenti nel vertice $O=(0,0)$alla retta $x+y=0$ cercare quella tale che il punto$( 2,0)$ abbia polare $x=3y+2$
come scrivo il fascio di parabole?non capisco quali sono i punti base
ecco un esercizio che non riesco ad impostare
tra le parabole tangenti nel vertice $O=(0,0)$alla retta $x+y=0$ cercare quella tale che il punto$( 2,0)$ abbia polare $x=3y+2$
come scrivo il fascio di parabole?non capisco quali sono i punti base
Risposte
Osserva che il punto B(2,0) appartiene alla sua polare $x=3y+2$ e quindi è autoconiugato rispetto alle parabole richieste.Pertanto $B$ appartiene alle coniche in esame ( e la tangente in $B$ ad esse è proprio la polare $x-3y+2=0$ )
Si osserva anche che la perpendicolare in $O$ alla tangente $x+y=0$, ovvero la retta di equazione $x-y=0$, è l'asse delle parabole che risultano quindi tangenti alla retta impropria nel punto $P_{infty} (1,1,0)$
Ora abbiamo i punti base del fascio e sono il punto $O$ con tangente $x+y=0$ e $P_{infty} (1,1,0)$ con tangente
la retta impropria del piano delle parabole.
L'equazione del fascio è dunque simbolicamente data da :
$lambda\cdot(OO)(P_{infty}P_{infty})+mu \cdot (OP_{infty})^2=0 $
Ovvero :
(1) $lambda(x+y)+mu(x-y)^2=0$
Per avere la parabola richiesta occorre imporre il passaggio per B(2,0) e si ha :
$2 lambda+4mu=0$ da cui $lambda=-2 mu$ e sostituendo nella (1) si ha alla fine l'equazione della parabola cercata:
$(x-y)^2-2(x+y)=0$
N.B. Il problema si può anche risolvere sfruttando il fatto che è nota la tangente in B ( che è poi la polare
data della consegna). Queste cose dovresti conoscerle, visto che è da parecchio che ci...bazzichi !
Si osserva anche che la perpendicolare in $O$ alla tangente $x+y=0$, ovvero la retta di equazione $x-y=0$, è l'asse delle parabole che risultano quindi tangenti alla retta impropria nel punto $P_{infty} (1,1,0)$
Ora abbiamo i punti base del fascio e sono il punto $O$ con tangente $x+y=0$ e $P_{infty} (1,1,0)$ con tangente
la retta impropria del piano delle parabole.
L'equazione del fascio è dunque simbolicamente data da :
$lambda\cdot(OO)(P_{infty}P_{infty})+mu \cdot (OP_{infty})^2=0 $
Ovvero :
(1) $lambda(x+y)+mu(x-y)^2=0$
Per avere la parabola richiesta occorre imporre il passaggio per B(2,0) e si ha :
$2 lambda+4mu=0$ da cui $lambda=-2 mu$ e sostituendo nella (1) si ha alla fine l'equazione della parabola cercata:
$(x-y)^2-2(x+y)=0$
N.B. Il problema si può anche risolvere sfruttando il fatto che è nota la tangente in B ( che è poi la polare
data della consegna). Queste cose dovresti conoscerle, visto che è da parecchio che ci...bazzichi !
grazie mille ciromario
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