Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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ho due piani \pi1: z-y-2=0 e \pi2: -x+y+z=0; e una retta r:(x=t; y=1-t; z=2t)
praticamente devo trovare la retta ke passa per l'intersezione di \pi1 e r, e ke sia perpendicolare a \pi2.
pensavo fosse facile ma non mi esce come in soluzione.
Praticamente per trovare l'intersezione tra \pi1 e r ho portato r in forma cartesiana e ho risolto il sistema di tre equazioni in tre incognite trovando il punto (1,0,2), poi ho preso una terna ke verificasse il prodotto vettoriale uguale a zero con \pi2 e ...
Salve a tutti sono un nuovo utente e cercavo di risolvere alcuni punti da me ancora incompressibili sull'applicazione lineare.
Vi riporto tutto l'esercizio a seguito, premetto che ho scritto tutti punti perchè è la prima volta che mi faccio aiutare su una pagina e non so nemmeno se scriverò tutto giusto
Sia $ T: R^4 -> R^3 $ l'applicazione lineare definita da
$ T(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1+ 4x_3- 3x_4; 5x_1 +4x_2 +4x_3 +x_4; -2x_1 +x_2 -12x_3 + 10x_4) $
Determinare:
A) una matrice associata a T rispetto alle basi canoniche di $ R^4 e di R^3 $ ;
B) equazione ...
Ciao a tutti, ho un problema, più che specificatamente con una matrice, con ciò che mi viene richiesto nell'intestazione dell'esercizio:
Studiare al variare di b € R il sistema lineare,determinandone le soluzioni quando
possibile:
$\{(x - (1-b)y + z = b-1),(bx + 2y + z = b),((1-b)x + y = b):}$
Risparmiandovi i passaggi, alla fine mi viene, messo tutto sotto matrice e spostando la z al primo posto per ridurre più facilmente a scala:
$((1,1,b-1,|b-1),(0,1-b,1,|b),(0,0,2-b,|1-b))$
Per $b=2$ e $b=1$ la matrice non ammette soluzioni. Per ...
Salve,
ho qualche quesito breve da porvi, domande di topologia sui tori che chiedo per studi a parte:
è vero che un qualsiasi toro topologico definito come l' azione del gruppo degli interi Z^l su R^l è piatto, ossia ha la metrica di R^l? Qualora la risposta fosse affermativa, posso dire qualcosa in più sulla metrica in R^t con t maggiore o uguale ad l ?
Un toro l-dimensionale definito come prodotto di l circonferenze : S^1x....xS^1 (l volte), mi risulta piatto sia in R^l che R^(2l), è vero? ...
salve a tutti, volevo un chiarimento sul seguente punto di un esercizio:
F = M ∈ M2R | M = $((-b,-a),(b,a))$ a,b ∈ R
b) Completare la base trovata per F ad una base di M2(R)
allora come base per F avendo dim=2 ho trovato $((-1,0),(1,0))$ , $((0,-1),(0,1))$ ora come faccio a completarla?!?! grazie in anticipo
Volevo esercitarmi con le matrici parametriche, così ho provato a svolgere questa 2x3:
Studiare al variare di a 2 R il sistema lineare,determinandone le soluzioni quando
possibile:
$\{(x + y + az = a),(x + ay + z = -1):}$
quindi
$((1,1,a|a),(1,a,1|-1))$
Ho sottratto la prima riga alla seconda:
$((1,1,a|a),(0,a-1,1-a|-1-a))$
A questo punto, considerando che è una 2x3, non so proprio come muovermi e credo sia sbagliato passare direttamente all'analisi dei casi di a... quale procedimento dovrei seguire?
Grazie dell'aiuto
Devo calcolare il gruppo fondamentale dell'unione di due sottospazi proiettivi di $P(RR)^4$ al variare della loro intersezione. Quindi immagino due piani proiettivi che si intersecano in un punto o in una retta proiettiva (il caso in cui sono coincidenti so che il gruppo fondamentale è isomorfo a $ZZ$/$2ZZ$). Quindi per indagare questi due casi pensavo di procedere in due modi:
1) Appicare Van Kampen sui piani "ingrassati" per averli aperti e calcolare il ...
Ciao a tutti!
Vorrei dei suggerimenti circa un esercizio di topologia del quale credo di sapere la sua risoluzione in $R^3$, ma non in $R^2$ come in questo caso.
Sia $f$:$R^2\backslash0$$rarr$ $R^2\backslash0$ dove $f(x)$=$x/|x|^2$
Sia C la circonferenza definita come $C$ $= $ $($ $x$ $in$ $R^2$ $:$ $|x-a|=1$; ...
discutere la seguente affermazione sia $A in RR(n)$ tale che $rankA=1$; esistono $x,y in RR^n$ per cui $A=xy^t$
non saprei proprio dove iniziare..
Ciao ragazzi è da giorni che cerco di dimostrare che $]0,1]$ non sia compatto. Vi dico come ho pensato io..... Per dimostrare che non è compatto bisogna trovare un ricoprimento aperto che non ammetta un sottoricoprimento finito ed avevo scelto come ricoprimento aperto $]1/n;1-1/n]$ ora vi chiedo è un ricoprimento aperto? Grazie
PS: Si consideri la topologia euclidea....
Ciao a tutti,ho problemi con un esercizio che dice:
fissato \(\displaystyle w=(2,0,1) \), sia \(\displaystyle F : \Re^3 \rightarrow \Re^3 \) l'applicazione lineare cosi definita:
\(\displaystyle F(v)=(v \cdot w)w \) (dove" \(\displaystyle \cdot \)" è il prodotto scalare).
1) Dimostrare che l'immagine di F e il nucleo di F sono autospazi di F e trovare i corrispondenti autovalori.
2) Stabilire se esiste una base ortonormale di \(\displaystyle \Re^3 \) formata da autovettori di F.
Il mio dubbio ...
Scrivere il vettore $ [2,3] $ come combinazione di lineare delle seguenti coppie di vettori $R^2$
$|1,1|$ $|2,1|$
Soluzioni proposte $\alpha_1$ = -8 e $\alpha_2$ = 5
Io partendo dall' equazione w = $\alpha_1$*K1 + $\alpha_2$*K2 e mettendo a sistema i due vettori
$ \ { (alpha_1*K1 + alpha_2*K2 = 2 ),( alpha_1*K1 + alpha_2*K2 = 3 ):}$
Ottengo i seguenti valori $\alpha_1$ = 4 e $\alpha_2$ = -1
E' possibile che entrambi i dati, sia quelli proposti che quelli ...
Ciao a tutti, vorrei sapere se ho eseguito bene questo sistema lineare omogeneo. Controllate per favore, e se voi aveste agito in maniera diversa e più veloce, scrivetelo pure . Grazie in anticipo
Risolvere il sistema lineare omogeneo [tex]A|b=\left(\begin{array}{cccc|c}
2 &3& -1& -2&0\\
4 & -3 & -5 & 5 &0 \\
8 & 3 & -7 & 1&0
\end{array}
\right)[/tex]
io ho provato a risolverlo così
ho applicato Gauss, così ho trovato il rango di della matrice dei coefficienti, e visto che qui siamo ...
Esercizio 2. Si considerino i seguenti sottoinsiemi
W1 :={f(T)∈R[T]≤2 :f(3)=0} W2 :={f(T)∈R[T]≤2 :f(0)∈N}
dello spazio vettoriale R[T]≤2.
(i) Si stabilisca, motivando adeguatamente la risposta, se W1, W2 sono sottospazi vettoriali di R[T ]≤2.
(ii) Per ciascuno dei sottospazi trovati in (i) si trovi dimensione e una base.
Salve a tutti...
C'è qualcuno che sa spiegarmi come discutere un sistema AX=B, e come trovare X nel caso avessimo A e B ? Come sapere se è compatibile o meno? e come fare tutto ciò trovando nelle matrici anche dei parametri?
Come si calcola la traccia(somma degli autovalori) di una matrice?
È sempre calcolabile in modo semplice facendo la somma degli elementi sulla diagonale principale?o solo sotto opportune condizioni?
Volevo sapere ma per ogni matrice $Q$ vale il fatto che $Q^t\ Q = I$ ? E solo per le ortogonali $Q^t = Q^-1$ ? Le colonne di una matrice ortogonale costituiscono una base ortonormale? Quindi i vettori colonna hanno norma 1 e sono tra loro perpendicolari?
Salve a tutti XD
Io sono capace di trovare sia glia autovalori che gli autovettori, ma non mi è chiara questa domanda:
Stabilire se esistono autovalori e autovettori
Cosa dovrei fare?
Grazie in anticipo
Salve a tutti,
qualcuno potrebbe spiegarmi quando delle soluzioni di un sistema formano o meno un sottospazio e se esiste una teoria generale che mi spieghi il collegamento tra l'esistenza, la non esistenza, l'esistenza di infinite soluzioni e se queste creano o meno un sottospazio?
Salve a tutti. Ho un esercizio in cui mi dice di trovare lo spazio somma generato da due rette
date mediante equazioni parametriche. le due rette sono r ed s
r : x=2t, y = 3t, z=t
s: x= - t, y= - 3t , z= - 2 t
Volevo sapere se è corretto come ho svolto la richiesta.
r : ( 2t , 3t, t) = t ( 2, 3 , 1) = < (2,3,1)>
s: (-t, -3t, -2t) = t ( -1, -3, -2) = < -1 , -3 -2) >
cioè ho scritto le rette come sottospazi generati da quelle terne.
E quindi ho completato dicendo che lo spazio somma è
r + s ...
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