Problema retta e piano

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10 giu 2013, 19:10

ho due piani \pi1: z-y-2=0 e \pi2: -x+y+z=0; e una retta r:(x=t; y=1-t; z=2t)
praticamente devo trovare la retta ke passa per l'intersezione di \pi1 e r, e ke sia perpendicolare a \pi2.
pensavo fosse facile ma non mi esce come in soluzione.
Praticamente per trovare l'intersezione tra \pi1 e r ho portato r in forma cartesiana e ho risolto il sistema di tre equazioni in tre incognite trovando il punto (1,0,2), poi ho preso una terna ke verificasse il prodotto vettoriale uguale a zero con \pi2 e ho imposto il passaggio per il punto trovato prima ma non esce come dovrebbe uecire. In cosa sbaglio??? qualcuno sa aiutarmi??

Risposte

Kashaman

10 giu 2013, 18:10

Non si capisce nulla... so che sei nuovo, per favore dai una letta qui? come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html

Comunque, riscrivere r in forma cartesiana è inutile,non ti serve. Scritto così, sai già ad esempio che un generico punto di $r$ è della forma $P(\lambda , 1- \lambda , 2 \lambda)$. Ora $P \in \pi _1$ se e solo se le coordinate di $P$ sono soluzione di
$z-y-2=0$ , da cui sostituendo opportunamente si ricava $2 \lambda -1+\lambda -2 = 0 => \lambda = 1$
Pertanto il punto di intersezione è dato da $I(1,0,2)$.
Per concludere in bellezza, ora devi trovare la retta per $I$ perpendicolare al piano $\pi_2$... condizione di perpendicolarità retta - piano?

david93

11 giu 2013, 07:06

Si si scusami per l'incomprensibilità hai ragione.
Tornando al problema, la perpendicolarità tra retta e piano è verificata se i vettori direttori della retta e del piano sono paralleli (perchè appunto il piano ha il suo vettore direttore uscente ortogonalmente). Il parallelismo è verificato dal prodotto vettoriale nullo quindi ogni terna scelta ke con il vettore direttore del piano mi darà prodotto vettoriale nullo andrà bene, vero?

Kashaman

11 giu 2013, 09:34

aspetta! che vuol dire che i vettori direttori del piano e della retta sono paralleli? Non ha senso! I vettori di direzione devono essere ortogonali! Mi spiego.
Definizione :
Sia $(V,g)$ uno spazio vettoriale euclideo. $E_n$ lo spazio metrico costruito su $V$.
Sia $r$ una retta individuata da un punto $A$ e dal vettore $v$
$\pi$ il piano individuato da $B$ e dai vettori $u,w$.
Si dice che $r$ e $\pi$ sono perpendicolari se contemporaneamente si ha che $g(v,u)=0 $ e $ g(v,w)=0$

Questa è la definizione di perpendicolarità più o meno formale .

Si dimostra poi questa caratterizzazione :
Detti $(l,m,n)$ i parametri direttori della retta $r$ e dato il piano $\pi : ax+by+cz+d =0$ . Si ha che $r$ e $\pi$ sono perpendicolari se e solo se $a/l =b/m=c/n$