Problema di topologia
Ciao a tutti!
Vorrei dei suggerimenti circa un esercizio di topologia del quale credo di sapere la sua risoluzione in $R^3$, ma non in $R^2$ come in questo caso.
Sia $f$:$R^2\backslash0$$rarr$ $R^2\backslash0$ dove $f(x)$=$x/|x|^2$
Sia C la circonferenza definita come $C$ $= $ $($ $x$ $in$ $R^2$ $:$ $|x-a|=1$; $con$ $|a|=1$ $)$
stabilire che $C\backslash0$ sia omeomorfa, mediante la restrizione di $f$, ad una retta.
Grazie per la pazienza!
Vorrei dei suggerimenti circa un esercizio di topologia del quale credo di sapere la sua risoluzione in $R^3$, ma non in $R^2$ come in questo caso.
Sia $f$:$R^2\backslash0$$rarr$ $R^2\backslash0$ dove $f(x)$=$x/|x|^2$
Sia C la circonferenza definita come $C$ $= $ $($ $x$ $in$ $R^2$ $:$ $|x-a|=1$; $con$ $|a|=1$ $)$
stabilire che $C\backslash0$ sia omeomorfa, mediante la restrizione di $f$, ad una retta.
Grazie per la pazienza!
Risposte
$f$ e' l'inversione circolare, mappa che ha la proprieta' di mandare cerchi secanti la circonferenza unitaria di centro 0 in rette (click)
killing_buddha ti ringrazio per la risposta, ma io vorrei che l esercizio si risolvesse sulla base di nozioni puramente topologiche. La tua è un'osservazione interessante. Ma, mi sapresti dire l esercizio sulla base di nozioni topologiche?
Per esempio potresti dimostrare che l'inversione circolare e' un diffeomorfismo del piano bucato in se' rispetto alle topologie usuali. Questo implicherebbe cio' di cui hai bisogno, e in effetti si presta ad essere generalizzato a inversioni ipersferiche, che sono diffeomorfismi di $R^n$ bucato in se', e mandano ipersfere secanti la ipersfera unitaria di centro l'origine in... cosa?
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