Dubbio matrice con prodotto scalare

[baroni.walter]

Ciao a tutti,ho problemi con un esercizio che dice:
fissato \(\displaystyle w=(2,0,1) \), sia \(\displaystyle F : \Re^3 \rightarrow \Re^3 \) l'applicazione lineare cosi definita:
\(\displaystyle F(v)=(v \cdot w)w \) (dove" \(\displaystyle \cdot \)" è il prodotto scalare).
1) Dimostrare che l'immagine di F e il nucleo di F sono autospazi di F e trovare i corrispondenti autovalori.
2) Stabilire se esiste una base ortonormale di \(\displaystyle \Re^3 \) formata da autovettori di F.
Il mio dubbio è qual'è la matrice rappresentativa di F,devo fare:
F(v)=(v1*2+v2*0+v3*1)(2,0,1)=4*v1+1*v3 ?
o devo fare:
F(v)=(v1*2+v2*0+v3*1)(2,0,1)={{4*v1+2*v3},0,{2*v1+1*v3}} ?
usando la base canonica con il primo procedimento otterei la matrice: {{4,0,0},{0,0,0},{0,0,2}}
e con il secondo procedimento la matrice: {{4,0,2},{0,0,0},{2,0,1}}
quale delle due è quella giusta?

[Quinzio]

La seconda.

[baroni.walter]

Ciao,grazie per aver risposto,so che era una domanda stupida...quello che mi aveva fatto venire il dubbio era la notazione con i versori, non sapevo se dovevo sommare le componenti o no.
grazie.