Sistema omogeneo.. $AX=0$..

[21zuclo]

Ciao a tutti, vorrei sapere se ho eseguito bene questo sistema lineare omogeneo. Controllate per favore, e se voi aveste agito in maniera diversa e più veloce, scrivetelo pure . Grazie in anticipo

Risolvere il sistema lineare omogeneo [tex]A|b=\left(\begin{array}{cccc|c}
2 &3& -1& -2&0\\
4 & -3 & -5 & 5 &0 \\
8 & 3 & -7 & 1&0
\end{array}
\right)[/tex]

io ho provato a risolverlo così

ho applicato Gauss, così ho trovato il rango di della matrice dei coefficienti, e visto che qui siamo in un sistema lineare omogeneo, basta quello. E poi in base al rango ho risolto il sistema, trovando le soluzioni

[tex]\left(\begin{array}{cccc|c}
2 &3& -1& -2&0\\
4 & -3 & -5 & 5 &0 \\
8 & 3 & -7 & 1&0
\end{array}
\right) \to R3=-2R2+R3 \left(\begin{array}{cccc|c}
2 &3& -1& -2&0\\
4 & -3 & -5 & 5 &0 \\
0 & 9 & 3 & -9&0
\end{array}
\right)\to[/tex]

[tex]\to R2=-2R1+R2 \left(\begin{array}{cccc|c}
2 &3& -1& -2&0\\
0 & -9 & -3 & 9 &0 \\
0 & 9 & 3 & -9&0
\end{array}
\right)\to R3=R2+R3 \left(\begin{array}{cccc|c}
2 &3& -1& -2&0\\
0 & -9 & -3 & 9 &0 \\
0 & 0 & 0 & 0&0
\end{array}
\right)[/tex]

[tex]\to \frac{1}{3} R2 \left(\begin{array}{cccc|c}
2 &3& -1& -2&0\\
0 & -3 & -1 & 3 &0 \\
0 & 0 & 0 & 0&0
\end{array}
\right)[/tex]

Il rango è 2, la matrice dei coefficienti è 3x4, quindi sistema indeterminato con $\infty^2$ soluzioni

${(2x+3y-z-2v=0),(-3y-z+3v=0):}$

pongo $v=\alpha$ e $z=\beta$

${(2x+3y=2\alpha+\beta),(-3y=-3\alpha+\beta):}$

$ A_1=( ( 2 , 3 ),( 0 , -3 ) ); b( ( 2\alpha+\beta ),( -3\alpha+\beta ) ) $
$ \detA_1=-6 $

$ x=(| ( 2\alpha+\beta , 3 ),( -3\alpha+\beta , -3 ) | )/(-6)=(-6\alpha-3\beta+9\alpha-3\beta)/(-6)=(2\beta-\alpha)/(2) $

$ y=(| ( 2 , 2\alpha+\beta ),( 0 , -3\alpha+\beta ) | )/(-6)=(-6\alpha+2\beta)/(-6)=(3\alpha-\beta)/(3) $

$z=\beta$ e $v=\alpha$

Riepilogando
$ S=\{(2\beta-\alpha)/(2);(3\alpha-\beta)/(3);v=\alpha;z=\alpha\}, \forall \alpha,\beta\in RR $

[vict85]

Potevi anche notare che \(\displaystyle 2(2,\ 3,\ -1,\ -2) + (4,\ 3,\ -5,\ 5) = (8,\ 3,\ -7,\ 1) \) ed evitare così di usare Gauß. Ma tutto sommato poi dovevi più o meno fari i calcoli nel sistema.

Io comunque, sinceramente, preferisco dire che il sistema definisce un sottospazio lineare di dimensione \(\displaystyle 4-2 = 2 \) di \(\displaystyle \mathbb{R}^4 \) rispetto a dire che è sistema indeterminato con \(\displaystyle \infty^2 \) soluzioni. Ma sono solo preferenze di impostazione.

Comunque ti informo che non è vietato usare il normale metodo di sostituzione. In fondo ti trovi con un sistema triangolare.

Per intenderci hai che

\begin{align} 2x + 3y &= 2\alpha + \beta \\
2x &= 2\alpha + \beta -3y \\
2x &= 2\alpha + \beta -3\alpha + \beta \\
2x &= -\alpha + 2\beta \\
\end{align}

A quel punto ti basta solo dividere.

[21zuclo]

"vict85":Potevi anche notare che \(\displaystyle 2(2,\ 3,\ -1,\ -2) + (4,\ 3,\ -5,\ 5) = (8,\ 3,\ -7,\ 1) \) ed evitare così di usare Gauß. Ma tutto sommato poi dovevi più o meno fari i calcoli nel sistema.

.

Ah cavoli! Non l'avevo visto. Eh sì si potevano risparmiare calcoli inutili.

"vict85":

Io comunque, sinceramente, preferisco dire che il sistema definisce un sottospazio lineare di dimensione \(\displaystyle 4-2 = 2 \) di \(\displaystyle \mathbb{R}^4 \) rispetto a dire che è sistema indeterminato con \(\displaystyle \infty^2 \) soluzioni. Ma sono solo preferenze di impostazione.

Io purtroppo agli spazi vettoriali, non ci sono ancora arrivato. Sto finendo gli ultimi esercizi su sistemi lineari, dopo ripasso i vettori, e poi posso iniziare con gli spazi vettoriali!
Però sta cosa che hai scritto, me la segno, può tornarmi utile

"vict85":
Comunque ti informo che non è vietato usare il normale metodo di sostituzione. In fondo ti trovi con un sistema triangolare.

Per intenderci hai che

\begin{align} 2x + 3y &= 2\alpha + \beta \\
2x &= 2\alpha + \beta -3y \\
2x &= 2\alpha + \beta -3\alpha + \beta \\
2x &= -\alpha + 2\beta \\
\end{align}

A quel punto ti basta solo dividere.

Ah ok! Io invece ho usato direttamente Cramer. Va bé mi segno pure questo.
Grazie