Gruppo fondamentale dell'unione tra piani proiettivi

[nuwanda1]

Devo calcolare il gruppo fondamentale dell'unione di due sottospazi proiettivi di $P(RR)^4$ al variare della loro intersezione. Quindi immagino due piani proiettivi che si intersecano in un punto o in una retta proiettiva (il caso in cui sono coincidenti so che il gruppo fondamentale è isomorfo a $ZZ$/$2ZZ$). Quindi per indagare questi due casi pensavo di procedere in due modi:

1) Appicare Van Kampen sui piani "ingrassati" per averli aperti e calcolare il $pi1$ dell'intersezione. Se questa è solo il punto (con "un pò di piano" affinchè sia un aperto connesso per archi), dico che il gruppo fondamentale è $ZZ$/$2ZZ$ * $ZZ$/$2ZZ$ come prodotto libero. Se invece l'intersezione è una retta proiettiva, come lo vedo il generatore dell'$S^1$ (in quanto la retta proiettiva è un $S^1$ e quindi ha $pi1$ isomorfo a $ZZ$) nei due piani proiettivi?

2) usare l'omeomorfismo fra i piani proiettivi e il disco quozientato sul bordo... ma qui mi perdo: faccio l'intersezione fra due dischi quozientati e calcolo quel gruppo fondamentale? Secondo me non ha senso... a meno di descrivere un omeomorfismo dell'unione dei due piani, per avere un'intersezione ben definita...

In entrambe le strade non so come procedere

[j18eos]

CIa0,

premetto che non mi sono ancora esercitato in quesi esercizi, però anch'io ho pensato a Van Kampen applicato al modello della sfera \(\mathbb{S}^4\) quozientata opportunamente e poi giocando con gli omeomorfismi: esattamente dove ti perdi?

[nuwanda1]

Non avevo pensato alla sfera $S^4$, perchè quando uso questo omeomorfismo lo faccio per "vedere" la geometria dello spazio... quindi lo faccio quando sto in $S^1$ o $S^2$ che posso "disegnarle"... in $S^4$ invece hai avuto qualche idea?