Comprendere svolgimento matrice parametrica 2x3
Volevo esercitarmi con le matrici parametriche, così ho provato a svolgere questa 2x3:
Studiare al variare di a 2 R il sistema lineare,determinandone le soluzioni quando
possibile:
$\{(x + y + az = a),(x + ay + z = -1):}$
quindi
$((1,1,a|a),(1,a,1|-1))$
Ho sottratto la prima riga alla seconda:
$((1,1,a|a),(0,a-1,1-a|-1-a))$
A questo punto, considerando che è una 2x3, non so proprio come muovermi e credo sia sbagliato passare direttamente all'analisi dei casi di a... quale procedimento dovrei seguire?
Grazie dell'aiuto
Studiare al variare di a 2 R il sistema lineare,determinandone le soluzioni quando
possibile:
$\{(x + y + az = a),(x + ay + z = -1):}$
quindi
$((1,1,a|a),(1,a,1|-1))$
Ho sottratto la prima riga alla seconda:
$((1,1,a|a),(0,a-1,1-a|-1-a))$
A questo punto, considerando che è una 2x3, non so proprio come muovermi e credo sia sbagliato passare direttamente all'analisi dei casi di a... quale procedimento dovrei seguire?
Grazie dell'aiuto
Risposte
Vedi se ti può aiutare guida-alla-risoluzione-dei-sistemi-lineari-t79095.html
[ot]Scrivo in OT perchè non sono sicuro. Certamente devi calcolare il rango,non il determinante. Poi usare il teorema di Rouchè-Capelli e/o applicare la regola di Cramer.[/ot]
[ot]Scrivo in OT perchè non sono sicuro. Certamente devi calcolare il rango,non il determinante. Poi usare il teorema di Rouchè-Capelli e/o applicare la regola di Cramer.[/ot]
Ti ringrazio della risposta
Il rango della completa e incompleta è uguale ma credo però che non si debba svolgere con cramer poi, in quanto si usa solo per le matrici quadrate...il link mi è stato utile per altre matrici tuttavia è che dia molto aiuto per matrici tipo questa...
Il rango della completa e incompleta è uguale ma credo però che non si debba svolgere con cramer poi, in quanto si usa solo per le matrici quadrate...il link mi è stato utile per altre matrici tuttavia è che dia molto aiuto per matrici tipo questa...
Mmmm, in pratica non sai come comportarti davanti un sistema non quadrato , tipo un 2x3 o 3x2...
Facciamo un esempio; premetto che uso l'agortimo di Gauss per determinare il rango delle matrici in gioco. Tu puoi usare anche altro. Ti ci vuole un matematico vero... però ci proviamo: male non fa
Il sistema è
\begin{cases}k x-2y-z=4\\ 8x-k y-2z=k\end{cases}
Considera che abbiamo un $k$ al primo elemento di una riga, è un potenziale pivot. Sarebbe utile studiare il caso in cui esso è nullo a parte...
per $k=0$ il sistema si riduce a:
\begin{cases}8x-2z=0\\ -2 y-z=4\end{cases}
A cui viene associata la matrice:
$A=$\begin{pmatrix}8&0&-2\\ 0&-2& -1\end{pmatrix}
Il cui rango è due, così come quello la matrice completa:
$(A|b)=$ \begin{pmatrix}8&0&-2&|&0\\ 0&-2& -1&|&4\end{pmatrix}
In questo caso poiché:
{rank}(A)={rank}(A|b)
allora il sistema è compatibile, ammette cioè almeno una soluzione.
Fatto questo, proseguiamo:
Sia $k\ne 0$
$A=$\begin{pmatrix}8&0&-2\\k&-2& -1\end{pmatrix}
Riduciamo con Gauss:
$A=$\begin{pmatrix}8&-k&-2\\k&-2& -1\end{pmatrix}
$R_2'=R_2- \frac{k}{8}R_1$
otteniamo
$A=$\begin{pmatrix}8&-k&-2\\0&-2+\frac{k^2}{8}& -1+\frac{k}{4}\end{pmatrix}
Vediamo se esistono valori di $k$ per il quali la matrice $A$ ha rango $1$. Questo avviene se e solo se esiste $k$ tale che:
\begin{cases}-2+\frac{k^2}{8}=0\\ -1+\frac{k}{4}=0\end{cases}
La seconda equazione è soddisfatta per $k=4$, sostituendo nella prima equazione tale valore, scopriamo che la uguaglianza è soddisfatta di conseguenza:
{rank}$(A)=$ \begin{cases}1&\mbox{ se } k=4\\ 2 &\mbox{ se }k\ne 4\end{cases}
Per $k\ne 4$ il rango della matrice $A$ è $2$, necessariamente anche il rango della matrice completa è $2$ e per il teorema di Rouché-Capelli, il sistema ammette almeno una soluzione
Studiamo il rango della matrice completa per $k=4$:
$(A|b)=$ \begin{pmatrix}8&-4 &-2&|&4\\ 4&-2& -1&|&4\end{pmatrix}
Riduciamo con Gauss:
$R_2'= R_2-\frac{1}{2} R_1$
Otterremo:
$(A|b)=$ \begin{pmatrix}8&-4 &-2&|&4\\ 0&0& 0&|&2\end{pmatrix}
La matrice completa ha rango due, mentre la matrice dei coefficienti ha rango $1$, per il teorema di Rouché Capelli, il sistema è impossibile
Ricapitolando:
\begin{cases}k\ne 4&\mbox{ sistema compatibile}\\ k=4&\mbox{ sistema incompatibile}\end{cases}
Spero che ora sia ok. Buona giornata.
Facciamo un esempio; premetto che uso l'agortimo di Gauss per determinare il rango delle matrici in gioco. Tu puoi usare anche altro. Ti ci vuole un matematico vero... però ci proviamo: male non fa
Il sistema è
\begin{cases}k x-2y-z=4\\ 8x-k y-2z=k\end{cases}
Considera che abbiamo un $k$ al primo elemento di una riga, è un potenziale pivot. Sarebbe utile studiare il caso in cui esso è nullo a parte...
per $k=0$ il sistema si riduce a:
\begin{cases}8x-2z=0\\ -2 y-z=4\end{cases}
A cui viene associata la matrice:
$A=$\begin{pmatrix}8&0&-2\\ 0&-2& -1\end{pmatrix}
Il cui rango è due, così come quello la matrice completa:
$(A|b)=$ \begin{pmatrix}8&0&-2&|&0\\ 0&-2& -1&|&4\end{pmatrix}
In questo caso poiché:
{rank}(A)={rank}(A|b)
allora il sistema è compatibile, ammette cioè almeno una soluzione.
Fatto questo, proseguiamo:
Sia $k\ne 0$
$A=$\begin{pmatrix}8&0&-2\\k&-2& -1\end{pmatrix}
Riduciamo con Gauss:
$A=$\begin{pmatrix}8&-k&-2\\k&-2& -1\end{pmatrix}
$R_2'=R_2- \frac{k}{8}R_1$
otteniamo
$A=$\begin{pmatrix}8&-k&-2\\0&-2+\frac{k^2}{8}& -1+\frac{k}{4}\end{pmatrix}
Vediamo se esistono valori di $k$ per il quali la matrice $A$ ha rango $1$. Questo avviene se e solo se esiste $k$ tale che:
\begin{cases}-2+\frac{k^2}{8}=0\\ -1+\frac{k}{4}=0\end{cases}
La seconda equazione è soddisfatta per $k=4$, sostituendo nella prima equazione tale valore, scopriamo che la uguaglianza è soddisfatta di conseguenza:
{rank}$(A)=$ \begin{cases}1&\mbox{ se } k=4\\ 2 &\mbox{ se }k\ne 4\end{cases}
Per $k\ne 4$ il rango della matrice $A$ è $2$, necessariamente anche il rango della matrice completa è $2$ e per il teorema di Rouché-Capelli, il sistema ammette almeno una soluzione
Studiamo il rango della matrice completa per $k=4$:
$(A|b)=$ \begin{pmatrix}8&-4 &-2&|&4\\ 4&-2& -1&|&4\end{pmatrix}
Riduciamo con Gauss:
$R_2'= R_2-\frac{1}{2} R_1$
Otterremo:
$(A|b)=$ \begin{pmatrix}8&-4 &-2&|&4\\ 0&0& 0&|&2\end{pmatrix}
La matrice completa ha rango due, mentre la matrice dei coefficienti ha rango $1$, per il teorema di Rouché Capelli, il sistema è impossibile
Ricapitolando:
\begin{cases}k\ne 4&\mbox{ sistema compatibile}\\ k=4&\mbox{ sistema incompatibile}\end{cases}
Spero che ora sia ok. Buona giornata.
Gentilissimo
Ho capito e infatti anche svolgendo il mio esercizio per $a=1$ il sistema è incompatibile, mentre per a diverso da 1 è possibile. Quindi l'esercizio si chiude una volta stabiliti i casi in cui la "a" o la "k" rende compatibile o incompatibile il sistema, in quanto essendo una 2x3 c'è necessariamente una variabile indipendente che non permette di ricavare risultati esatti dalla matrice. Ho capito bene? Grazie ancora
Ho capito e infatti anche svolgendo il mio esercizio per $a=1$ il sistema è incompatibile, mentre per a diverso da 1 è possibile. Quindi l'esercizio si chiude una volta stabiliti i casi in cui la "a" o la "k" rende compatibile o incompatibile il sistema, in quanto essendo una 2x3 c'è necessariamente una variabile indipendente che non permette di ricavare risultati esatti dalla matrice. Ho capito bene? Grazie ancora
Bravo. Sono contento per te 
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