A.l associata ad una matrice e viceversa
salve a tutti.
Ho questo dubbio che non mi permette di capire bene i nuovi argomenti che stiamo affrontando.
Il mio libro di Algebra è il Lang. A me piace molto, ma non riesco a capire questa cosa che riguarda le applicazioni lineari associate ad una matrice. Mi vien detto infatti che se ho una matrice, a cui viene associata una funzione lineare devo considerare il vettore delle coordinate di X ( associato ad una matrice A) in forma trasposta. Ma non ne capisco il motivo.
Ecco le testuali parole: sia $v$ elemento di $V$ e sia $X$ il vettore delle sue coordinate rispetto alla base fissata. Poichè è importante distinguere tra vettore riga e colonna, d' ora in poi converremo di considerare il vettore delle coordinate come un vettore colonna. Possiamo allora scrivere $^tX=(x_1,...,x_n)$.
Allo stesso modo quando parla invece di una matrice associata ad un app. lin. si esprime cosi':
siano $V$ e $W$ spazi vett. Sia F:V-->V un app lin di $V$ in $W$.
Siano $(v_1,...,v_n)$ e $(w_1,...,w_n)$ rispettivamente basi di $V$ e $W$. Ogniuno degli elementi $F(v_1),..., F(v_n)$ appartiene a $W$. Ogniuno di essi può quindi essere scritto come c.l dei vettori $w_1$...$w_n$. I numeri $a_ij$ cosi' disposti ( in matrice) formano una matrice. La trasposta di questa matrice sarà chiamata la matrice associata all' app lin $F$ (relativa alla nosta scelta delle basi ).
Allora mi potete aiutare perfavore? Grazie in anticipo
Ho questo dubbio che non mi permette di capire bene i nuovi argomenti che stiamo affrontando.
Il mio libro di Algebra è il Lang. A me piace molto, ma non riesco a capire questa cosa che riguarda le applicazioni lineari associate ad una matrice. Mi vien detto infatti che se ho una matrice, a cui viene associata una funzione lineare devo considerare il vettore delle coordinate di X ( associato ad una matrice A) in forma trasposta. Ma non ne capisco il motivo.
Ecco le testuali parole: sia $v$ elemento di $V$ e sia $X$ il vettore delle sue coordinate rispetto alla base fissata. Poichè è importante distinguere tra vettore riga e colonna, d' ora in poi converremo di considerare il vettore delle coordinate come un vettore colonna. Possiamo allora scrivere $^tX=(x_1,...,x_n)$.
Allo stesso modo quando parla invece di una matrice associata ad un app. lin. si esprime cosi':
siano $V$ e $W$ spazi vett. Sia F:V-->V un app lin di $V$ in $W$.
Siano $(v_1,...,v_n)$ e $(w_1,...,w_n)$ rispettivamente basi di $V$ e $W$. Ogniuno degli elementi $F(v_1),..., F(v_n)$ appartiene a $W$. Ogniuno di essi può quindi essere scritto come c.l dei vettori $w_1$...$w_n$. I numeri $a_ij$ cosi' disposti ( in matrice) formano una matrice. La trasposta di questa matrice sarà chiamata la matrice associata all' app lin $F$ (relativa alla nosta scelta delle basi ).
Allora mi potete aiutare perfavore? Grazie in anticipo
Risposte
@rick,
non si capisce molto quanto hai scritto..mmm, dovrei avere il testo, dimmi la pg per favore che quando ho un po di tempo controllo quanto detto! Cmq non vorrei che nella matrice associata all'applicazione lineare le coordinate le mette in riga? Se così è, allora siccome diceva di mettere le coordinate in colonna considera la trasposta.. ma vorrei vedere meglio e con i miei occhi
Saluti
"rick":
salve a tutti.
Ho questo dubbio che non mi permette di capire bene i nuovi argomenti che stiamo affrontando.
Il mio libro di Algebra è il Lang. A me piace molto, ma non riesco a capire questa cosa che riguarda le applicazioni lineari associate ad una matrice. Mi vien detto infatti che se ho una matrice, a cui viene associata una funzione lineare devo considerare il vettore delle coordinate di X ( associato ad una matrice A) in forma trasposta. Ma non ne capisco il motivo.
Ecco le testuali parole: sia $v$ elemento di $V$ e sia $X$ il vettore delle sue coordinate rispetto alla base fissata. Poichè è importante distinguere tra vettore riga e colonna, d' ora in poi converremo di considerare il vettore delle coordinate come un vettore colonna. Possiamo allora scrivere $^tX=(x_1,...,x_n)$.
Allo stesso modo quando parla invece di una matrice associata ad un app. lin. si esprime cosi':
siano $V$ e $W$ spazi vett. Sia F:V-->V un app lin di $V$ in $W$.
Siano $(v_1,...,v_n)$ e $(w_1,...,w_n)$ rispettivamente basi di $V$ e $W$. Ogniuno degli elementi $F(v_1),..., F(v_n)$ appartiene a $W$. Ogniuno di essi può quindi essere scritto come c.l dei vettori $w_1$...$w_n$. I numeri $a_ij$ cosi' disposti ( in matrice) formano una matrice. La trasposta di questa matrice sarà chiamata la matrice associata all' app lin $F$ (relativa alla nosta scelta delle basi ).
Allora mi potete aiutare perfavore? Grazie in anticipo
non si capisce molto quanto hai scritto..mmm, dovrei avere il testo, dimmi la pg per favore che quando ho un po di tempo controllo quanto detto! Cmq non vorrei che nella matrice associata all'applicazione lineare le coordinate le mette in riga? Se così è, allora siccome diceva di mettere le coordinate in colonna considera la trasposta.. ma vorrei vedere meglio e con i miei occhi
Saluti
beh non credo che sia io a non essere chiaro; è il Lang che si esprime cosi'. Comunque in ogni caso il mio dubbio è che se ho un app lin del tipo $F$ : $R^3$-->$R^2$ e $(x,y,z)$---> $(x,y)$, come devo considerare x e y?come vettore messo in colonna o in riga? oppure non c' è differenza? Io credo che il Lang si riferisca proprio a questo nella trasposta. Cioè siccome nel dominio in genere si considera lo span dei vettori colonna, allora anche nel codominio devo considerarli allo stesso modo. Quindi avro' che nel codominio bisogna trasporre i vettori immagine. Questa è la mia interpretazione ma non so se è giusta. Comunque l' argomento è trattato da pagina 103 a seguire...
beh non credo che sia io a non essere chiaro; è il Lang che si esprime cosi'. Comunque in ogni caso il mio dubbio è che se ho un app lin del tipo $F$ : $R^3$-->$R^2$ e $(x,y,z)$---> $(x,y)$, come devo considerare x e y?come vettore messo in colonna o in riga? oppure non c' è differenza? Io credo che il Lang si riferisca proprio a questo nella trasposta. Cioè siccome nel dominio in genere si considera lo span dei vettori colonna, allora anche nel codominio devo considerarli allo stesso modo. Quindi avro' che nel codominio bisogna trasporre i vettori immagine. Questa è la mia interpretazione ma non so se è giusta. Comunque l' argomento è trattato da pagina 103 a seguire...
In realtà quella di distinguere tra vettori "riga" e vettori "colonna" è un po' una pippa mentale di alcuni Geometri... 
Insomma, se ti limiti al significato superficiale, è solo questione di notazioni.
Tuttavia, la notazione col trasposto genera comunque casino, perché essa è necessariamente "asimmetrica".
Scegliamo un'applicazione lineare \(\mathcal{A}:\mathbb{V}\to \mathbb{W}\) e scegliamo di denotare con \(\mathbf{x}^T\) le coordinate (rispetto ad una fissata base) del generico vettore \(v\in \mathbb{V}\); analogamente, per mantenere uniformità, vorremmo denotare con \(\mathbf{y}^T\) le coordinate (rispetto ad una fissata base) del generico vettore \(w\in \mathbb{W}\).
Per un noto teorema, esiste un'unica matrice \(A\in \mathbb{M}_{m\times n}\) (qui \(m=\dim \mathbb{W}\) ed \(n=\dim \mathbb{W}\)) che rappresenta \(\mathcal{A}\) rispetto alle basi, cioé un unica matrice che gode della proprietà:
\[
\text{le coordinate del vettore } \mathcal{A}v \text{ (rispetto alla base scelta in } \mathbb{W} \text{) sono date da } A\mathbf{x}^T\; ;
\]
il problema è che il prodotto \(A\mathbf{x}^T\) ti fornisce un vettore riga e tale vettore, alla luce di quanto detto sopra circa la rappresentazione dei vettori coordinati, non può essere preso come un "legittimo" vettore di coordinate (perché non è una colonna!).
Allora, dirai, mettiamoci un trasposto. E va bene, dico io. Fatto ciò, dobbiamo modificare la proprietà caratteristica della matrice associata prendendo un trasposto, i.e.:
\[
\text{le coordinate del vettore } \mathcal{A}v \text{ (rispetto alla base scelta in } \mathbb{W} \text{) sono date da } \mathbf{x} A^T\; \ldots
\]
E però a questo punto, non si capisce bene perché nel dominio vogliamo considerare vettori colonna, visto che nella relazione \(\mathbf{x} A^T\) entrano vettori riga.
IMHO, trovo sia molto meglio lasciar perdere tutte queste complicazioni notazionali, a favore di una migliore comprensione di ciò che si sta facendo.
Tuttavia, se il libro (ed il docente) vogliono che si usi questa distinzione, meglio farci l'abitudine.
Insomma, se ti limiti al significato superficiale, è solo questione di notazioni.
Tuttavia, la notazione col trasposto genera comunque casino, perché essa è necessariamente "asimmetrica".
Scegliamo un'applicazione lineare \(\mathcal{A}:\mathbb{V}\to \mathbb{W}\) e scegliamo di denotare con \(\mathbf{x}^T\) le coordinate (rispetto ad una fissata base) del generico vettore \(v\in \mathbb{V}\); analogamente, per mantenere uniformità, vorremmo denotare con \(\mathbf{y}^T\) le coordinate (rispetto ad una fissata base) del generico vettore \(w\in \mathbb{W}\).
Per un noto teorema, esiste un'unica matrice \(A\in \mathbb{M}_{m\times n}\) (qui \(m=\dim \mathbb{W}\) ed \(n=\dim \mathbb{W}\)) che rappresenta \(\mathcal{A}\) rispetto alle basi, cioé un unica matrice che gode della proprietà:
\[
\text{le coordinate del vettore } \mathcal{A}v \text{ (rispetto alla base scelta in } \mathbb{W} \text{) sono date da } A\mathbf{x}^T\; ;
\]
il problema è che il prodotto \(A\mathbf{x}^T\) ti fornisce un vettore riga e tale vettore, alla luce di quanto detto sopra circa la rappresentazione dei vettori coordinati, non può essere preso come un "legittimo" vettore di coordinate (perché non è una colonna!).
Allora, dirai, mettiamoci un trasposto. E va bene, dico io. Fatto ciò, dobbiamo modificare la proprietà caratteristica della matrice associata prendendo un trasposto, i.e.:
\[
\text{le coordinate del vettore } \mathcal{A}v \text{ (rispetto alla base scelta in } \mathbb{W} \text{) sono date da } \mathbf{x} A^T\; \ldots
\]
E però a questo punto, non si capisce bene perché nel dominio vogliamo considerare vettori colonna, visto che nella relazione \(\mathbf{x} A^T\) entrano vettori riga.
IMHO, trovo sia molto meglio lasciar perdere tutte queste complicazioni notazionali, a favore di una migliore comprensione di ciò che si sta facendo.
Tuttavia, se il libro (ed il docente) vogliono che si usi questa distinzione, meglio farci l'abitudine.
fortunatamente il mio docente ci lascia liberi di interpretare le nozioni, purchè naturalmente siano interpretazioni giuste!
Quindi mi stai dicendo praticamente che sarebbe una cosa giusta ma non necessaria considerare le immagini del dominio in forma trasposta, giusto? Cioè in pratica mi complicherei solo la vita nel seguire il testo!?
Quindi posso fare a meno ti trasporre e considerare le immagini cosi' come vengono proposte ( in un esercizio per esempio). Ma se mi chiedessero se le trasformazioni sono l.i, come le dovrei mettere in Gauss?
Quindi mi stai dicendo praticamente che sarebbe una cosa giusta ma non necessaria considerare le immagini del dominio in forma trasposta, giusto? Cioè in pratica mi complicherei solo la vita nel seguire il testo!?
Quindi posso fare a meno ti trasporre e considerare le immagini cosi' come vengono proposte ( in un esercizio per esempio). Ma se mi chiedessero se le trasformazioni sono l.i, come le dovrei mettere in Gauss?
"rick":
fortunatamente il mio docente ci lascia liberi di interpretare le nozioni, purchè naturalmente siano interpretazioni giuste!
Quindi mi stai dicendo praticamente che sarebbe una cosa giusta ma non necessaria considerare le immagini del dominio in forma trasposta, giusto? Cioè in pratica mi complicherei solo la vita nel seguire il testo!?
Quindi posso fare a meno ti trasporre e considerare le immagini cosi' come vengono proposte ( in un esercizio per esempio).
Beh, in un certo senso sì.
"rick":
Ma se mi chiedessero se le trasformazioni sono l.i, come le dovrei mettere in Gauss?
Non si capisce nulla della domanda... Che c'entra l'algoritmo di Gauss?
@rick,
molto fortunato , nel mio caso purtroppo non è così e a condire il tutto aggiungo anche le nozioni del docente sono anche errate spesse volte... hehehe
Saluti
"rick":
fortunatamente il mio docente ci lascia liberi di interpretare le nozioni, purchè naturalmente siano interpretazioni giuste!
molto fortunato
, nel mio caso purtroppo non è così e a condire il tutto aggiungo anche le nozioni del docente sono anche errate spesse volte... hehehe Saluti
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