Proprietà di un proiettore
Salve a tutti,
Avendo solo una infarinatura generale di calcolo matriciale, peraltro sparpagliata tra esami che riguardavano tutt'altro, non sono riuscito a trovare risposta a determinate domande e spero che possiate chiarire i miei dubbi.
Sia [tex]A \in \mathbb{C}^{n \times m}[/tex], con [tex]n>m(>1)[/tex], una matrice ("alta e magra") a rango pieno (di colonna), ovvero [tex]rank(A)=m[/tex]. Indicando con [tex]A^*[/tex] la trasposta coniugata di A, è possibile costruire la matrice quadrata [tex]n \times n[/tex]:
[tex]P_A = A(A^* A)^{-1}A^*[/tex]
dove [tex](A^* A)^{-1}A^*[/tex] è la pseudo-inversa di $A$. Ora, [tex]P_A[/tex] è chiaramente un proiettore ortogonale, è idem-potente ed hermitiano. La mia prima domanda è: come si fa a dimostrare (nel modo più semplice possibile) che gli unici autovalori (eigenvalues) di [tex]P_A[/tex] sono 1 e 0 (con certe molteplicità) ?
Essendo hermitiano, $P_A$ ammette la scomposizione: [tex]P_A=U \Lambda U^{*}[/tex], dove $\Lambda$ è una matrice diagonale (con gli autovalori di $P_A$ lungo la diagonale), mentre $U$ è una matrice unitaria ([tex]U^*=U^{-1}[/tex]).
La mia seconda domanda è la seguente. Che cosa si può dire, invece, della scomposizione: [tex](*) \ P_A = VV^*[/tex], dove $V \in \mathbb{C}^{n \times p}$, con $(1<)p
Grazie per la cortese attenzione.
Avendo solo una infarinatura generale di calcolo matriciale, peraltro sparpagliata tra esami che riguardavano tutt'altro, non sono riuscito a trovare risposta a determinate domande e spero che possiate chiarire i miei dubbi.
Sia [tex]A \in \mathbb{C}^{n \times m}[/tex], con [tex]n>m(>1)[/tex], una matrice ("alta e magra") a rango pieno (di colonna), ovvero [tex]rank(A)=m[/tex]. Indicando con [tex]A^*[/tex] la trasposta coniugata di A, è possibile costruire la matrice quadrata [tex]n \times n[/tex]:
[tex]P_A = A(A^* A)^{-1}A^*[/tex]
dove [tex](A^* A)^{-1}A^*[/tex] è la pseudo-inversa di $A$. Ora, [tex]P_A[/tex] è chiaramente un proiettore ortogonale, è idem-potente ed hermitiano. La mia prima domanda è: come si fa a dimostrare (nel modo più semplice possibile) che gli unici autovalori (eigenvalues) di [tex]P_A[/tex] sono 1 e 0 (con certe molteplicità) ?
Essendo hermitiano, $P_A$ ammette la scomposizione: [tex]P_A=U \Lambda U^{*}[/tex], dove $\Lambda$ è una matrice diagonale (con gli autovalori di $P_A$ lungo la diagonale), mentre $U$ è una matrice unitaria ([tex]U^*=U^{-1}[/tex]).
La mia seconda domanda è la seguente. Che cosa si può dire, invece, della scomposizione: [tex](*) \ P_A = VV^*[/tex], dove $V \in \mathbb{C}^{n \times p}$, con $(1<)p
Grazie per la cortese attenzione.
Risposte
"Reti77":Perché?
...Ora, \( P_A \) è chiaramente un proiettore ortogonale...
Non riesco a vederlo, forse mi dimentico qualcosa per la via...
"j18eos":
Perché?
Innanzitutto, grazie per la risposta!
In realtà dipende da come definisci esattamente "proiettore (ortogonale)", che è una traduzione italiana del termine "orthogonal projection matrix". Nel mio post precedente, ho implicitamente sfruttato il seguente teorema, che si può prendere anche come una definizione (cito in lingua originale):
Theorem A matrix [tex]P \in M_{n,n}(\mathbb{C})[/tex] is an orthogonal projection matrix (onto [tex]S=R(P)[/tex]) if and only if: [tex]P^2 = P = P^H[/tex].
$P^H$ è il trasposto coniugato, $R(P)$ è il range. Ma comunque non ti soffermare su queste cose, non sono essenziali ai fini delle mie domande. In altri termini: non è detto che un proiettore sia definito sempre in un certo modo (probabilmente non riuscivi a vederlo perché avevi in mente un'altra definizione), ma al di là di come è definito il problema "difficile" è quella sua scomposizione un po' particolare (che non abbiamo mai affrontato), anche se intuitivamente ha senso.
Per gli autovalori, invece, sono sicuro che sia così, ma mi servirebbe una dimostrazione (possibilmente semplice, e trovare dimostrazioni semplici è più un'arte che una scienza).
OK, quell'operatore è un proiettore in virtù del teorema citato! 
Io ragionerei spezzando \(\displaystyle\mathbb{C}^n\) come somma diretta di \(\displaystyle R(P)\) ed \(\displaystyle R(P)^{\perp}\)...
Io ragionerei spezzando \(\displaystyle\mathbb{C}^n\) come somma diretta di \(\displaystyle R(P)\) ed \(\displaystyle R(P)^{\perp}\)...
"j18eos":
Io ragionerei spezzando \(\displaystyle\mathbb{C}^n\) come somma diretta di \(\displaystyle R(P)\) ed \(\displaystyle R(P)^{\perp}\)...
Non sono riuscito a seguire questa strada, nel senso che non so come continuare per pervenire a quella scomposizione.
Tuttavia, sono riuscito a dimostrare il fatto degli autovalori: deriva direttamente dall'idempotenza (tutte le matrici idempotenti hanno autovalori o 1 o 0). Sia $A$ una matrice (quadrata) idempotente. Allora: $Av = \lambda v$ è la solita espressione. Vale, inoltre: $A Av = A^2 v = A \lambda v = \lambda A v = \lambda^2 v$, ovvero: $A^2 v = \lambda^2 v$ (questo vale in generale). Ma $A^2 = A$, da cui: $(\lambda^2 - \lambda)v = 0$, che ha per soluzione, essendo $v$ arbitrario non-nullo, $\lambda = 0$ e $\lambda=1$ (anche se così non si riesce a ricavare la molteplicità algebrica dei singoli autovalori, ma va bene comunque).
Spiego la mia "strada": \(\displaystyle R(P)\) o range di \(\displaystyle P\) è l'autospazio degli autovettori di \(\displaystyle P\) ad autovalore \(\displaystyle1\), \(\displaystyle R(P)^{\perp}\) è l'autospazio degli autovettori di \(\displaystyle P\) ad autovalore \(\displaystyle 0\); dato che tali autospazi sono in somma diretta hai concluso che \(\displaystyle0\) e \(\displaystyle1\) sono gli unici autovalori di \(\displaystyle P\), e inoltre è facile dire chi sono le loro molteplicità algebriche! : )
Ti faccio notare che ho saltato le opportune giustificazioni...
Ti faccio notare che ho saltato le opportune giustificazioni...
Perfetto, così il discorso sugli autovalori è chiuso.
Nel mio messaggio precedente, non avevo intuito che ti riferissi agli autovalori, ma pensavo fosse qualcosa riguardo alla scomposizione [tex]VV^*[/tex] (avevo fondamentalmente frainteso il tuo post). Ad ogni modo, quella scomposizione è valida, dovrebbe trovarsi su qualche libro (che attualmente non ho), con un po' di ricerca dovrei riuscire a trovarla.
Grazie ancora.
Nel mio messaggio precedente, non avevo intuito che ti riferissi agli autovalori, ma pensavo fosse qualcosa riguardo alla scomposizione [tex]VV^*[/tex] (avevo fondamentalmente frainteso il tuo post). Ad ogni modo, quella scomposizione è valida, dovrebbe trovarsi su qualche libro (che attualmente non ho), con un po' di ricerca dovrei riuscire a trovarla.
Grazie ancora.
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