Calcolare dimensioni di spazi vettoriali

[zardo1992]

Buon pomeriggio a tutti.

Sto cercando di risolvere il seguente esercizio.

Siano $U$ e $V$ i sottospazi di $V = C^4$ generati rispettivamente dai seguenti insiemi, ${\sqrt{2}e_1 + e_2, e_2 + \sqrt{-5}e_3}$ e ${e_1 - ie_4,e_2 + e_4}$, ove $e_j$ denota il $j$-esimo vettore della base standard. Calcolare $dimL$, ove $L \in {U,W,V,U + W, U \cap W}$.

Io ho svolto l'esercizio come segue.

$V$ ha dimensione 4, in quanto coincide con $C^4$ che ha come generatori i vettori della base canonica di $C^4$. Perciò $U$ e $V$ non possono avere dimensione maggiore di 4.

Visto che mi sono stati dati gli insiemi posso ricavare i generatori dei due sottospazi:

1. Relativamente a $U$, $ U = L{(\sqrt{2},1,0,0), (0,1,\sqrt{-5},0)}$, quindi ha dimensione 2, che è minore di 4;
2. Relativamente a $W$, $ W = L{(1,0,0,-i), (0,1,0,1)}$, quindi ha dimensione 2, anch'essa minore di 4.

Ho proceduto correttamente finora, oppure ho commesso qualche errore?
Come proseguo a questo punto? Come ricavo quindi $U + W$, $U \cap W$, $L$ e le relative dimensioni?

Grazie

[21zuclo]

mi sembra tutto corretto (a vista d'occhio) però ti dico quando ho fatto algebra lineare da me..non avevo mai calcolato dimensioni di spazi vettoriali in $ CC $ campo dei complessi..

Ti dico solo che per determinare la dimensione degli spazi $ U+W, U\cap W $

mi viene in mente solo la formula di Grassman che è questa
Sia $ V=U+V rArr dim V=dim U+dim W-dim(U\capW) $

[garnak.olegovitc1]

@zardo1992,

"zardo1992":Buon pomeriggio a tutti.

Sto cercando di risolvere il seguente esercizio.

Siano $U$ e $V$ i sottospazi di $V = C^4$ generati rispettivamente dai seguenti insiemi, ${\sqrt{2}e_1 + e_2, e_2 + \sqrt{-5}e_3}$ e ${e_1 - ie_4,e_2 + e_4}$, ove $e_j$ denota il $j$-esimo vettore della base standard. Calcolare $dimL$, ove $L \in {U,W,V,U + W, U \cap W}$.

Io ho svolto l'esercizio come segue.

$V$ ha dimensione 4, in quanto coincide con $C^4$ che ha come generatori i vettori della base canonica di $C^4$. Perciò $U$ e $V$ non possono avere dimensione maggiore di 4.

Visto che mi sono stati dati gli insiemi posso ricavare i generatori dei due sottospazi:

1. Relativamente a $U$, $ U = L{(\sqrt{2},1,0,0), (0,1,\sqrt{-5},0)}$, quindi ha dimensione 2, che è minore di 4;
2. Relativamente a $W$, $ W = L{(1,0,0,-i), (0,1,0,1)}$, quindi ha dimensione 2, anch'essa minore di 4.

Ho proceduto correttamente finora, oppure ho commesso qualche errore?
Come proseguo a questo punto? Come ricavo quindi $U + W$, $U \cap W$, $L$ e le relative dimensioni?

Grazie

perdonami ma non capisco bene i dati che hai a disposizione, capisco che abbiamo \( \mathbb{C}^4 \) come spazio vettoriale ove \( V:=\mathbb{C}^4=<(e_1 - ie_4,e_2 + e_4)> \) e \(U\) il sottospazio di \( V \) ove \( U=<(\sqrt{2}e_1 + e_2, e_2 + \sqrt{-5}e_3)> \), l'esercizio vuole in primis le dimensioni di \( U \) e \( V \), giusto? Mi domando, rivolgendomi anche a @21zuclo, chi è \(W \)?

Saluti