Metodo veloce --> matrice 3x3 o 2x2 nilpotente???

[teseien]

Salve volevo sapere se esiste un metodo veloce e semplice per vedere se una matrice quadrata di grado 2 o 3 è nilpotente...

non avendo fatto gli auto vettori o auto valori e vedendo che su vari siti c'è il modo tramite questi ultmi non so come fare,
magari il nostro prof all'imminente esame fa lo scherzone di metterci una matrice elevata alla 27 -.- .....

ricordo che ci faceva vedere che una matrice di questo tipo:

| 0 1 |
| 0 0 |

era nilpotente.., se esistono dei trucchetti me li potete dire? grazie millissime

[Pappappero1]

In generale, una matrice $n \times n$ è nilpotente se e solo se la sua potenza $n$-esima è nulla. Quindi se una matrice diventa $0$, lo fa entro la potenza $n$-esima. Sapresti dimostrarlo? Questo evita tanti conti.

C'è poi una condizione sufficiente, secondo la quale una matrice strettamente triangolare superiore o strettamente triangolare inferiore è sempre nilpotente.

Si può osservare di più: se prendi comunque $n$ matrici (tutte) strettamente triangolari superiori o (tutte) strettamente triangolari inferiori, il loro prodotto è $0$. Se ne è parlato un po' qui. Anche questo è un fatto facile da dimostrare: se ripercorri i conti che sono stati fatti in quel thread, con un po' di induzione puoi scrivere una facile dimostrazione.

Come condizioni necessaria facile da verificare, si può dire che una matrice nilpotente deve avere traccia e determinante nullo. Questo sapresti dimostrarlo? Quindi se una matrice ha traccia non nulla o determinante non nullo, allora certamente non è nilpotente.

Più in generale, una matrice è nilpotente se e solo tutti i suoi autovalori sono nulli (ci si riconduce facilmente alla forma triangolare). Da questo si osserva subito che una matrice nilpotente che non è nulla non può essere diagonalizzabile (perché la sua forma diagonale sarebbe identicamente nulla, ma allora la matrice era già nulla in partenza).