Sottospazi invarianti e diagonalizzabilità

[simos93]

Sia $f: CC^3 \to CC^3$ un endomorfismo avente solo 2 autovalori distinti. Dimostrare che, se esistono 3 sottospazi distinti di dimensione 2 f-invarianti, allora f è diagonalizzabile.

Provando a dimostrare la contronominale, ho osservato che se f non è diagonalizzabile, essendo triangolabile (perché il campo è $CC$), la sua forma di Jordan è $((lambda, 1, 0), (0, lambda, 0), (0, 0, mu))$ dove $lambda$ e $mu$ sono gli autovalori.
Con tale matrice ho dimostrato che l'autospazio relativo a $lambda$ è $Span(e_1)$, mentre quello relativo a $mu$ è $Span(e_3)$ e che la somma degli autospazi $Span(e_1, e_3)$ è f-invariante perchè gli autospazi sono f-invarianti. Ci sono altri sottospazi f-invarianti di dimensione 2?

[Pappappero1]

Non ho capito se ti sei confuso a scrivere $e_2$ invece che $e_3$ nello span di dimensione $2$.

Nel caso di quella forma triangolare i sottospazi invarianti di dimensione $2$ sono soltanto $2$, ovvero $Span(e_1,e_2)$ e $Span(e_1,e_3)$.

[simos93]

Si scusa, ho sbagliato a scrivere. Doveva essere $Span(e_1,e_3)$. Lo modifico anche sopra.
Comunque il punto è: come faccio a dimostrare che sono solo quei due?

[Pappappero1]

Io considererei un generico $v = (x,y,z)$. Detta $M$ la matrice, prenderei le prime tre immagini $v,Mv,M^2v$ e cercherei delle condizioni su $x,y,z$ affinche' lo span di questi tre vettori abbia dimensione $2$. Con un po' di conti dovrebbe venir fuori facilmente che se $y$ e $z$ sono entrambi non nulli, allora lo span ha sempre dimensione $3$.

Una volta dimostrato questo e' facile concludere.