Spazi topologici metrizzabili
Dimostrare che uno spazio discreto è metrizzabile.
Allora io ho provato a considerare la metrica discreta, ovvero quella per qui:
$ d(x,y)={ ( 1 se x!= y ),( 0 se x=y ):} $
a questo punto però, non ho ben chiaro come procedere..io devo dimostrare che lo spazio topologico è metrizzabile e quindi, devo dimostrare che tale metrica induce una topologia, come posso procedere? dimostrando le 3 condizioni per cui si ha una topologia?
Allora io ho provato a considerare la metrica discreta, ovvero quella per qui:
$ d(x,y)={ ( 1 se x!= y ),( 0 se x=y ):} $
a questo punto però, non ho ben chiaro come procedere..io devo dimostrare che lo spazio topologico è metrizzabile e quindi, devo dimostrare che tale metrica induce una topologia, come posso procedere? dimostrando le 3 condizioni per cui si ha una topologia?
Risposte
"Maryse":Sì, e dimostrando che la topologia ottenuta è quella discreta!
...dimostrando le 3 condizioni per cui si ha una topologia?
Ok, solo che non riesco a capire bene come devo soddisfare le 3 condizioni.. cioè ho quella metrica lì, ovvero la metrica discreta ora, devo dimostrare che gli aperti di quella metrica soddisfino quelle condizioni?
Hai fatto due giri di walzer per domandare cosa?
Quali sono gli aperti secondo quella metrica?
Quali sono gli aperti secondo quella metrica?
Mi sono confusa forse a scrivere la domanda sopra ahah comunque, gli aperti sono tutti i dischi di raggio minore di 1, giusto?
"Maryse":E se li prendi di raggio minore (uguale) di \(\displaystyle2\)? Con raggio minore (uguale) di \(\displaystyle\frac{3}{4}\)?
...gli aperti sono tutti i dischi di raggio minore di 1...
Mmm, mi sto confondendo forse.. Allora gli aperti secondo quella metrica è costituita da tutti i dischi che, sono unione di punti la cui distanza fra loro è minore di 1?
Aspetto una risposta all'ultima domanda... Fissato un punto \(\displaystyle x_0\) dello spazio da metrizzare: chi sono quegli insiemi con centro in \(\displaystyle x_0\)?
"j18eos":
Aspetto una risposta all'ultima domanda... Fissato un punto \( \displaystyle x_0 \) dello spazio da metrizzare: chi sono quegli insiemi con centro in \( \displaystyle x_0 \)?
Provo a rispondere io: se \(\displaystyle (X, d_d) \) è il nostro spazio metrico con \(\displaystyle d_d \) "distanza discreta" definita come nel 1° post, allora \(\displaystyle \forall x_0 \in X \) le palle aperte con centro \(\displaystyle x_0 \) e raggio \(\displaystyle r>0 \) sono:$ B_d(x_0,r)= { ( \{x_0\} \ se \ \ r \leq 1 ),( X \ \ \ \ se \ \ r>1 ):}$
Ora, come mostrare che effettivamente gli aperti secondo la metrica discreta sono tutti e soli gli aperti che definiscono la topologia discreta, cioè che la topologia discreta è quella generata dalla metrica discreta?
Per definizione, gli aperti della topologia discreta sono tutti i sottoinsiemi di X, ovvero la topologia discreta é \(\displaystyle \tau_d = \wp(X) \) essendo \(\displaystyle \wp(X) \) l'insieme delle parti di \(\displaystyle X \).
Partiamo dai singoletti, cioè dagli insiemi \(\displaystyle \{x_0\} , \ \forall x_0 \in X\). E' vero che \(\displaystyle \{x_0\} \) è aperto? Cioè, il punto \(\displaystyle x_0 \) è interno a \(\displaystyle \{x_0\} \) ? Questo è vero se trovo almeno una \(\displaystyle B_d(x_0, r) \) interamente contenuta in \(\displaystyle \{x_0\} \).
Beh, ma visto come sono fatte le palle, questo è vero sempre per \(\displaystyle r \leq 1 \), quindi almeno un \(\displaystyle r \) si riesce a trovarlo, ad esempio \(\displaystyle r=\frac{1}{2} \).
Passiamo ora agli altri insiemi generici \(\displaystyle E\subseteq X \) (non singoletti) (scorciatoia\(\displaystyle ^{1} \)). Per tutti i punti di \(\displaystyle E \) posso fare lo stesso ragionamento che ho fatto per \(\displaystyle x_0 \). Quindi tutti i punti di \(\displaystyle E \) sono interni. Quindi \(\displaystyle E \) è aperto.
\(\displaystyle ^{1} \) Non sono sicuro, ma se io considero un qualunque insieme \(\displaystyle E \) come unione eventualmente infinita di singoletti (è lecito farlo?) allora avrei l'unione di una famiglia (eventualmente infinita) di aperti, che sappiamo essere aperta.
Domanda 1. Per mostrare che tutti i sottoinsiemi di \(\displaystyle X \) sono anche chiusi, posso vedere il generico insieme \(\displaystyle E \) come l'insieme \(\displaystyle X \) a cui ho sottratto una collezione (eventualmente infinita) di singoletti e quindi dire che \(\displaystyle E \) è il complementare di un insieme aperto, ovvero che \(\displaystyle E \) è chiuso?
A parte un errore di segno, hai dimostrato che tutti i punti sono aperti ed allora non hai concluso?
"j18eos":
A parte un errore di segno
Dove?
"j18eos":
hai dimostrato che tutti i punti sono aperti ed allora non hai concluso?
Se un qualsiasi punto è interno all'insieme che lo costituisce, allora è interno anche a qualsiasi insieme che lo contenga. Ergo, qualunque insieme ha tutti i punti interni e si conclude che (per definizione di insieme aperto) qualunque insieme è aperto.
Le palle aperte "discrete" sono:
\[
\forall r\in]0;+\infty[;x_0\in X,\,B_r(x_0)=\begin{cases}
\{x_0\}\iff r<1\\
X\iff r\geq1
\end{cases}
\]
Poi, come facevo notare a Maryse: \(\displaystyle B_{\frac{3}{4}}(x_0)=\{x_0\}\) per cui il singoletto di ogni punto è un insieme aperto, onde la topologia ottenuta da quella metrica è la topologia discreta!
Non c'è bisogno di ragionare sul generico sottoinsieme proprio \(\displaystyle E\) di \(\displaystyle X\) non vuoto!
\[
\forall r\in]0;+\infty[;x_0\in X,\,B_r(x_0)=\begin{cases}
\{x_0\}\iff r<1\\
X\iff r\geq1
\end{cases}
\]
Poi, come facevo notare a Maryse: \(\displaystyle B_{\frac{3}{4}}(x_0)=\{x_0\}\) per cui il singoletto di ogni punto è un insieme aperto, onde la topologia ottenuta da quella metrica è la topologia discreta!
Non c'è bisogno di ragionare sul generico sottoinsieme proprio \(\displaystyle E\) di \(\displaystyle X\) non vuoto!
Bene. Grazie per avermi dato una conferma. Ma...
Perché non c'è bisogno di considerare il generico sottoinsieme proprio \(\displaystyle E \) non vuoto? Cosa c'è dietro a quell'"onde"?
Sei d'accordo con me che il nostro obiettivo è questo :
Quel tuo "onde", in pratica, equivale a quella scorciatoia che avevo scritto, e su cui avevo espresso il dubbio con quel "è lecito farlo?":
Quale ipotesi deve verificare \(\displaystyle X \) affinché "sia lecito farlo?"
D'altronde, una domanda simile, ma opposta, è quella che avevo lanciato:
"j18eos":
il singoletto di ogni punto è un insieme aperto, onde la topologia ottenuta da quella metrica è la topologia discreta!
Non c'è bisogno di ragionare sul generico sottoinsieme proprio \( \displaystyle E \) di \( \displaystyle X \) non vuoto!
Perché non c'è bisogno di considerare il generico sottoinsieme proprio \(\displaystyle E \) non vuoto? Cosa c'è dietro a quell'"onde"?
Sei d'accordo con me che il nostro obiettivo è questo :
"EdmondDantès":
mostrare che effettivamente gli aperti secondo la metrica discreta sono tutti e soli gli aperti che definiscono la topologia discreta, cioè che la topologia discreta è quella generata dalla metrica discreta?
Quel tuo "onde", in pratica, equivale a quella scorciatoia che avevo scritto, e su cui avevo espresso il dubbio con quel "è lecito farlo?":
"EdmondDantès":
\(\displaystyle ^1 \) Non sono sicuro, ma se io considero un qualunque insieme \(\displaystyle E \) come unione eventualmente infinita di singoletti (è lecito farlo?) allora avrei l'unione di una famiglia (eventualmente infinita) di aperti, che sappiamo essere aperta.
Quale ipotesi deve verificare \(\displaystyle X \) affinché "sia lecito farlo?"
D'altronde, una domanda simile, ma opposta, è quella che avevo lanciato:
"EdmondDantès":
Domanda 1. Per mostrare che tutti i sottoinsiemi di \(\displaystyle X \) sono anche chiusi, posso vedere il generico insieme \(\displaystyle E \) come l'insieme \(\displaystyle X \) a cui ho sottratto una collezione (eventualmente infinita) di singoletti e quindi dire che \(\displaystyle E \) è il complementare di un insieme aperto, ovvero che \(\displaystyle E \) è chiuso?
La definizione di insieme discreto, anzi meglio, di topologia discreta, non è del tutto uniforme, anche se è facile osservare che le diverse definizioni che in genere ci sono sui testi sono equivalenti.
In particolare, si può dire che un insieme $X$ è dotato della topologia discreta se ogni sottoinsieme di $X$ è aperto. Equivalentemente si può dire che $X$ è dotato della topologia discreta se ogni sottoinsieme di $X$ è chiuso. Ancora equivalentemente si può dire che $X$ è dotato della topologia discreta se tutti i singoletti sono aperti. Se si aggiungono alcune ipotesi, il "tutti" dell'ultima definizione si può indebolire.
Ci sono poi alcune definizioni che si basano sulla continuità di certe funzioni (ad esempio, una funzione che ha come dominio uno spazio discreto è sempre continua, una funzione che ha come codominio uno spazio discreto è continua solo se è costante sulle componenti connesse del dominio).
Queste definizioni sono equivalenti. Se prendi l'ultima (quella dei singoletti), dimostrare che i singoletti sono pallette di raggio più piccolo di $1$ risolve completamente il problema, e la metrica discreta induce ovviamente la topologia discreta.
L'equivalenza tra la prima e la seconda è banale banale (basta prendere i complementari). Se vuoi dimostrare che uno spazio è discreto secondo la prima definizione, una volta dimostrato che i singoletti sono pallette aperte, basta scrivere ogni aperto come unione di singolette, ovvero di pallette aperte; a questo punto, visto che qualunque unione di aperti è ancora una volta un aperto, si conclude.
In particolare, si può dire che un insieme $X$ è dotato della topologia discreta se ogni sottoinsieme di $X$ è aperto. Equivalentemente si può dire che $X$ è dotato della topologia discreta se ogni sottoinsieme di $X$ è chiuso. Ancora equivalentemente si può dire che $X$ è dotato della topologia discreta se tutti i singoletti sono aperti. Se si aggiungono alcune ipotesi, il "tutti" dell'ultima definizione si può indebolire.
Ci sono poi alcune definizioni che si basano sulla continuità di certe funzioni (ad esempio, una funzione che ha come dominio uno spazio discreto è sempre continua, una funzione che ha come codominio uno spazio discreto è continua solo se è costante sulle componenti connesse del dominio).
Queste definizioni sono equivalenti. Se prendi l'ultima (quella dei singoletti), dimostrare che i singoletti sono pallette di raggio più piccolo di $1$ risolve completamente il problema, e la metrica discreta induce ovviamente la topologia discreta.
L'equivalenza tra la prima e la seconda è banale banale (basta prendere i complementari). Se vuoi dimostrare che uno spazio è discreto secondo la prima definizione, una volta dimostrato che i singoletti sono pallette aperte, basta scrivere ogni aperto come unione di singolette, ovvero di pallette aperte; a questo punto, visto che qualunque unione di aperti è ancora una volta un aperto, si conclude.
@Pappappero 
"Pappappero":
basta scrivere ogni aperto come unione di singolette, ovvero di pallette aperte;
Grazie. Era questo che mi mancava. Ed ho scoperto che discende proprio dalla definizione di insieme aperto (e ne è equivalente):
http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/e ... s0007.html (prime 4 righe)
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