Esercizio superficie minimale

[process11]

sia data la seguente superficie

$P(u,v)=(vcosu,vsen u,u+cv)$ stabilire per quale valore di $c in R$ la superficie è minimale.

voglio usare la definizione: una superficie minimale è una superficie con curvatura media $H$ è identicamente nulla.

poichè $H=TrX/2$ mi serve la matrice della seconda forma fondamentale. $X=G^-1 B$

comincio a calcolare la matrice della prima forma fondamentale

$P_u=(-vsen u, vcosu,1)$, $P_v=(cosu,sen u,c)$ da cui $G=((v^2+1,c),(c,1+c^2))$

cacolo la matrice relativa all'operatore di weintgarten.
calcolo il versore normale $N=(P_u ^^ P_v)/||P_u ^^ P_v||$=$1/sqrt(v^2+c^2v^2+1)(cvcosu-sen u, cvsen u+cosu, -v^2)$
quindi poichè le derivate seconde vengono $P_(uu)=(-vcosu,-vsen u, 0)$, $P_vv=(0,0,0)$ e $P_(uv)=(-sen u, cosu, 0)$
da cui $B=1/sqrt(v^2+c^2v^2+1)((-cv^2,1),(1,0))$


il problema è che X non mi viene simmetrica
$X=((1/(v^2+1),1/c),(1/c,1/(1+c^2)))((-cv^2,1),(1,0))$

[j18eos]

Ma sei sicuro che il calcolo del versore normale sia corretto? Io non mi trovo (almeno) con la III componente!

[process11]

hai ragione la terza componente è $-v$; però in ogni caso la terza componente di tutte le derivate seconde si annulla quindi non è quello il problema...

[j18eos]

Non ricordo che la matrice di forma \(\displaystyle H\) debba essere simmetrica!

Mi sbaglio?

[process11]

oddio hai ragione mi sono confuso per via della definizione di seconda forma fondamentale