Centri delle sfere

[ludwigZero]

Buonasera.
Ho questo problema:

Si determinino i centri delle sfere di raggio $sqrt(11)$ tangenti a $\Pi : x - 3y + z + 1 = 0$ tangenti a $\Pi$ nel punto $A(0,0,-1)$

il numero direttore del piano è $(A,B,C) = (1,-3,1)$

Condizione di tangenza che lega il piano e il raggio:

$|a A + b B + c C|/(2 sqrt( A^2 + B^2 + C^2)) = r $

Formula del piano tangente:

$x_1 x + y_1 y + z_1 z + a/2 (x+x_1) + b/2 (y+y_1) + c/2 (z+z_1) + d = 0$

gli faccio il passaggio del punto

ottengo:

$z (-1 + 1/2) + a/2 x + b/2 y + c/2 + d - c/2 = 0$

$a - 3 b - c = 2 sqrt(11) sqrt(11) = 22$ (2)

dato che conosco i numeri direttori del piano tangente pongo:

a/2 = 1

b/2 = - 3

l'unico problema rimane $ c $ che lo ricavo dalla (2) ed essendo trovato c posso trovarmi anche d

le sfere dovrebbero essere, secondo tale ragionamento:

$x^2 + y^2 + z^3 + 2 x -6 y + 2 z =0$

vi trovate?

[Quinzio]

Io di sfere ne "vedo" una.
E poi il centro non dista $\sqrt11$ dal piano... !

[ludwigZero]

il raggio $r = sqrt(11)$ è la distanza dal centro C della sfera dal punto di tangenza A?

[Quinzio]

Certo.

[ludwigZero]

$ d(A,C) = sqrt(11) $

$C(-a/2 , -b/2 , -c/2)$

$A(0,0,-1)$

$d(A,C) = sqrt((a^2)/4 + (b^2)/4 + (c/2 +1)^2 ) = sqrt(11)$

unite a queste condizioni qui:

"ludwigZero":
Condizione di tangenza che lega il piano e il raggio:

$|a A + b B + c C|/(2 sqrt( A^2 + B^2 + C^2)) = r $

Formula del piano tangente:

$x_1 x + y_1 y + z_1 z + a/2 (x+x_1) + b/2 (y+y_1) + c/2 (z+z_1) + d = 0$

gli faccio il passaggio del punto

ottengo:

$z (-1 + 1/2) + a/2 x + b/2 y + c/2 + d - c/2 = 0$

dovrei trovarmi no?