Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti,
sia dato il fascio $\varphi = x^2 + hxy +y^2 -2x -hy = 0$ di coniche. Devo trovare il luogo dei centri.
Mi viene il seguente sistema lineare ${(2x +hy = 2, hx +2y = h)$ risulta che $h = 2(1-x)/y$ e tale luogo dei punti diviene, sostituendo $x^2-y^2-2x+1 = 0$ il professore trova subito che tale equazione può essere scomposta in $(x+y-1)(x-y-1)$
Mi chiedo sta utilizzando Ruffini per la scomposizione? Sta applicando qualche proprietà sempre per la scomposizione?
Vorrei capire se quella scomposizione è ...
Ciao ragazzi, in giro per il forum ho trovato quasi tutto ciò che cercavo ma non ho ancora risolto una questione. Non riesco a dimostrare che il polinomio caratteristico di una matrice nilpotente ha tutte le proprie radici nulle, e non lo trovo da punte parti!!!!! Potreste darmi una mano?? Grazie in anticipo!!!!!
Salve, vorrei chiedere aiuto su questo esercizio:
Date due matrici quadrate 3x3 A e B, simmetriche, det A=5, det B=3, come posso dimostrare che la prima colonna di A è sicuramente combinazione lineare delle colonne di B?
Io so che le colonne di una matrice simmetrica sono tutte linearmente indipendenti, ma non so come questo possa essermi d'aiuto nella risoluzione.
Grazie in anticipo a chiunque mi aiuterà
Buonasera a tutti, sto preparando l'esame di geometria che dovrò affrontare tra pochissimo, e mi sono imbattuto in questo dilemma:
Avendo una matrice A di ordine $ k xx n $ , ovviamente con $ k != n $, e volendo determinare il suo rango, se considero una sottomatrice B contenuta in A quadrata caratterizzata da colonne linearmente indipendenti, ovvero dotata di determinante diverso da 0, le colonne della matrice A che contengono le colonne di B sono anch'esse linearmente ...
"Camillo":retta k )
$ x= 1+t $
$y=2-t$
$z=3+2t $
Per inciso si tratta di una retta di punto iniziale $P (1,2,3) $ [corrispondente a $t=0 $ ] e di parametri direttori $(1,-1,2) $ ok ?
Veniamo al punto - conversione da forma parametrica dell'equazione della retta a forma cartesiana ( come intersezione di due piani ).
Dalle tre equazioni ricavo $t $ ottenendo:
$x-1=t ; 2-y=t ; (z-3)/2 =t $
Ora eguaglio i valori di ...
ragazzi ho un problema dato a mia sorella ( io pure sto a ingegneria) lei no ma mi risulta difficile risolverlo , potreste aiutarmi?? allora il problema dice che ho un parallelepipedo a base quadrato, ove il lato misura 30 cm ( del quadrato); codesto parallelepipedo è riempito per 3/4 di olio che ha un peso di 0.9. Il parallelepipedo ( che alla fine è un contenitore) pesa 24,3 kg. Qual è l'altezza h del recipiente??? help please
Ciao a tutti!
Ho delle difficoltà a svolgere questo problemino di geometria.
Qualcuno mi potrebbe aiutare?
Dato un parallelogramma ABCD, traccia una retta che passa per il centro e interseca AB in P e CD in Q. Dimostra che i due trapezi APQD e PBCQ sono equivalenti.
Grazie mille in anticipo!
Ciao a tutti volvevo sapere se qualcuno poteva aiutarmi a risolvere questo problema:
se f(s) è una curva biregolare semplice parametrizzata rispetto all'ascissa curvilinea s, N(s) il suo versore normale, B(s) il suo versore binormale e k(s) la sua curvatura ed r un numero reale tale che $ 0 < r < 1/{k(s)} $ consideriamo la superficie tubolare di equazione $ g(s,t) = f(s) + r(N(s) cost + B(s) sent ) $ con $ 0 < t <2 \pi $
Volevo sapere come è possibile dimostrare che è iniettiva.
(Ho pensato di ragionare così: ciascuna ...
Salve ragazzi in questi giorni ho avuto compito di geometria e uno degli esercizi che ho svolto per la prof. non aveva ragione di esistere, questo è il testo:
sia \(\displaystyle f:R^{3}\rightarrow R^{4} \) l'applicazione lineare definita da
\(\displaystyle f(\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}h\\ h \\h+1\\ h-1\end{pmatrix}, f(\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}h+1\\ h+1 \\h+1\\ h-1\end{pmatrix}, f(\begin{pmatrix}0\\ 1\\ ...
Salve.
Ho questo problema:
Sia $R^3$ lo spazio vettoriale numerico e $R_1[t]$ spazio vettoriale.
Data l'applicazione lineare:
$ f: (x,y,z) \in R^3 -> (y+z) t +(x-z) \in R_1[t]$
1) Dato il sottospazio: $W = { (x,y,z) \in R^3 : x+y+z=0 }$ trovare una base
$x=-y-z$
$y(-1,1,0)+z(-1,0,1)$
$B(W)= L{(-1,1,0),(-1,0,1)}$
2) trovare la base di $f(W)$
qui trovo leggermente difficoltà..
qualche suggerimento?
Ho incontrato una definizione delle forme di Maurer-Cartan per la Grassmanniana un po' inusuale e avrei bisogno di un chiarimento.
Sia $G(m,n)$ la Grassmanniana degli $m$ piani in uno spazio vettoriale complesso $V$ di dimensione (complessa) $N = n+m$. E' noto che, come spazio omogeneo sotto l'azione per coniugio di $U(N)$, si ha (non e' un quoziente di gruppi!):
\[
G(m,n) = U(N) / (U(n) \times U(m)).
\]
Percio' ogni forma differenziale ...
Salve. Ho riscontrato non pochi problemi in questi esercizio:
Calcolare le coordinate di (-1, 1, 1 ) rispetto alla base B2 di R^3 rispetto alla quale risulta
(1, 1, 2) = (-2, 1, 1)B2
(-1, 0, 1)= (1, 0, 1)B2
(-1, 1, 0)= (1, 1, 2)B2
Il risultato è: (3/4, 1, 9/4)B2
Vi illustro il mio ragionamento:
Ho determinato la matrice di passaggio da B1 a B0 (base canonica) che indicherò con B0MB1 mettendo in ...
Sia V lo spazio vettoriale delle matrici 2 x 2. Sia A =
0 2
0 2
Sia T : V ---> V definita da T(X) = XA.
a) Determinare la dimensione e una base di Ker T.
b) Determinare la dimensione e una base di Im T.
c) Fissare una base di V e determinare la matrice che rappresenta T in quella base.
Ciao a tutti,
mi sono trovato di fronte ad un esercizio che non saprei come risolvere.
Sia $V$ uno spazio euclideo di $dimV = n$, Se $S$ è un sottospazio di $V$, con $S^\bot$ si indica l'insieme: $S = {v in V | v \bot w, per ogni v in S}$.
Dimostrare che $S^\bot$ è un sottospazio di $V$ (chiamato complemento ortogonale di $S$ in $V$)
Una definizione che ho trovato qui di sottospazio è la seguente:
"Uno ...
Buongiorno a tutti!
Sto studiando la parte di Geometria differenziale del corso di Geometria 2 e non riesco bene a capire cosa sia il differenziale di una funzione.
Noi abbiamo dato questa definizione:
Il differenziale di $f: M_1 -> M_2$ ($M_1$, $M_2$ superfici in $mathbb(R)^3$) in $p$ ($f**|_p$) è la funzione $f**|_p: T_pM_1 -> T_(f(p))M_2)$ lineare definita come segue:
Sia $V in T_pM_1$ e $EE alpha: (-epsilon, epsilon) -> M_1$ curva $C^oo$ tale che ...
Ciao a tutti, sto svolgendo un esercizio che mi chiede di trovare la forma canonica di Jordan partendo da una matrice. La matrice in questione è:
\(\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2\end{bmatrix} \)
Trovo il polinomio caratterristico che è: \(\displaystyle (1-t)^2 * (2-t) \) quindi gli autovalori sono: \(\displaystyle \lambda = 1,\lambda = 2 \)
Trovo la molteplicità algebrica e geometrica dei singoli autovalori:
\(\displaystyle \lambda = 1 \rightarrow ma(1) = ...
Ciao a tutti!! Ho un problema enorme con un esercizio di Topologia.
Sia X lo spazio topologico che si ottiene da $ mathbb(R) $ collassando a un punto l'insieme $ mathbb(Z) $ .
Dire se X è Hausdorff.
Allora, X è $ mathbb(R) $ con la relazione d'equivalenza $ ~ $ : x $ ~ $ y $ hArr $ x=y oppure x,y $ in mathbb(Z) $
Però non so da dove cominciare!! Qualcuno può darmi qualche dritta?
Grazie mille!!
Salve.
Ho un problema nel risolvere un punto di questo esercizio:
Data $ A=( ( 3 , 1 , 7 ),( -2 , 1 , -8 ),( 1 , -3, 9) ) $
trovare equazioni parametriche per $ X=ker(f_A) $ e cartesiane per $ Y=Im(f_a) $.
Ho trovato X. Per farlo ho risolto il solito sistema $ Ax=0 $ notando che $ rankA=2 $ e quindi il sistema ha $ oo^1 $ soluzioni.
Quindi ho
$ (( 3 , 1 , 7 ),( -2 , 1 , -8 ),( 1 , -3, 9) )( ( x_1 ),( x_2 ),( x_3 ) ) = ( ( 0 ),( 0 ),( 0) ) $
introduco il parametro $ s=x_3 $ e quindi viene che l'insieme delle soluzioni è dato da $ Sol=(( ( 3 ),( 2 ),( 1 ) ) s , s in R) $
e ...
Testo esercizio:
Considerati gli $RR$ spazi vettoriali $RR^4$ e $RR_2[x]$, determinare per quali valori di $kinRR$ esistono applicazioni lineari $f: RR^4->RR_2[x]$ tali che
$f(1,1-k,0,2)=-1+(k-1)x$
$f(0,2,k-1,-1)=1+x+(1-k)x^2$
$f(k-1,1,-1,0)=1-x+2x^2$
$f(1,1-k,2,3)=-k+4x-3x^2$
Verificato che per $k = 2$ esistono infinite applicazioni lineari f, determinare una di queste applicazioni e costruire la matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche.
Qualcuno mi potrebbe ...
Ciao a tutti, intanto complimenti per l'organizzazione del sito, sono nuova di qui ma mi è subito stato molto utile
Approfitto della gentilezza per provare a fugare un dubbio di teoria sulla dimensione di un sottospazio vettoriale.
Mi rendo conto che è una sciocchezza, ma mi sono trovata davanti un esercizio in cui mi si chiedeva la $dimW$ con
$W$= ${ ( (x), (y) ) \in R^2 : 2x-3y =0 }$
il risultato è evidentemente 1. Adesso arriva la mia domanda banale, perchè il libro mi calcola la ...
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