[RISOLTO] [Geometria differenziale] Differenziale di una funzione
Buongiorno a tutti!
Sto studiando la parte di Geometria differenziale del corso di Geometria 2 e non riesco bene a capire cosa sia il differenziale di una funzione.
Noi abbiamo dato questa definizione:
Ora, il problema è che non riesco a capire il significato pratico di questa definizione e mi trovo abbastanza insicuro su come utilizzarlo!
Infatti, questo mi porta a non capire neanche l'operatore forma, definito come $S_p = -N**|_p$ con $N$ mappa di Gauss... E di conseguenza neanche la prima e seconda forma fondamentale e la loro relazione con l'operatore forma!
Avete qualche consiglio su come capire l'argomento?
Sto studiando la parte di Geometria differenziale del corso di Geometria 2 e non riesco bene a capire cosa sia il differenziale di una funzione.
Noi abbiamo dato questa definizione:
Il differenziale di $f: M_1 -> M_2$ ($M_1$, $M_2$ superfici in $mathbb(R)^3$) in $p$ ($f**|_p$) è la funzione $f**|_p: T_pM_1 -> T_(f(p))M_2)$ lineare definita come segue:
Sia $V in T_pM_1$ e $EE alpha: (-epsilon, epsilon) -> M_1$ curva $C^oo$ tale che ${ ( alpha(0) = p ),( dot(alpha)(0) = V ):}$
$f**|_p$$(V) = d/dt|_(t=0)f(alpha(t))$
Ora, il problema è che non riesco a capire il significato pratico di questa definizione e mi trovo abbastanza insicuro su come utilizzarlo!
Infatti, questo mi porta a non capire neanche l'operatore forma, definito come $S_p = -N**|_p$ con $N$ mappa di Gauss... E di conseguenza neanche la prima e seconda forma fondamentale e la loro relazione con l'operatore forma!
Avete qualche consiglio su come capire l'argomento?
Risposte
Il piano (vettoriale) tangente a $M_1$ in $p$ si può caratterizzare come l'unione dei vettori tangenti in $p$ alle curve regolari $\alpha$ passanti per $p$ e contenute in $M_1$.
Lo scopo è quello di definire il differenziale di $f$ in $p$ come un'applicazione di $T_p M_1$ in $T_{f(p)} M_2$. Preso un vettore $V \in T_p M_1$, esisterà una certa curva regolare $\alpha$ tale che $\alpha(0) = p$ (cioè passante per $p$) e tale che $V = \dot{\alpha}(0)$ (cioè $V$ è il vettore tangente ad $\alpha$ in $p$). A $V$ si fa corrispondere il vettore tangente alla curva "immagine" $f(\alpha(t))$ nel punto $f(\alpha(0)) = f(p)$, cioè $d/dt|_(t=0)f(alpha(t))$.
Lo scopo è quello di definire il differenziale di $f$ in $p$ come un'applicazione di $T_p M_1$ in $T_{f(p)} M_2$. Preso un vettore $V \in T_p M_1$, esisterà una certa curva regolare $\alpha$ tale che $\alpha(0) = p$ (cioè passante per $p$) e tale che $V = \dot{\alpha}(0)$ (cioè $V$ è il vettore tangente ad $\alpha$ in $p$). A $V$ si fa corrispondere il vettore tangente alla curva "immagine" $f(\alpha(t))$ nel punto $f(\alpha(0)) = f(p)$, cioè $d/dt|_(t=0)f(alpha(t))$.
Grazie mille! Ora mi è molto più chiaro!
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