Calcolo coordinate vettore rispetto ad una base
Salve. Ho riscontrato non pochi problemi in questi esercizio:
Calcolare le coordinate di (-1, 1, 1 ) rispetto alla base B2 di R^3 rispetto alla quale risulta
(1, 1, 2) = (-2, 1, 1)B2
(-1, 0, 1)= (1, 0, 1)B2
(-1, 1, 0)= (1, 1, 2)B2
Il risultato è: (3/4, 1, 9/4)B2
Vi illustro il mio ragionamento:
Ho determinato la matrice di passaggio da B1 a B0 (base canonica) che indicherò con B0MB1 mettendo in colonna i vettori
( 1, 1, 2), (-1, 0, 1), (-1, 1, 0).
In modo analogo ho determinato B0MB2.
Per poter determinare la matrice di passaggio B2MB1 ho invertito B0MB2 in modo che B2MB0 * B0MB1 = B2MB1.
Successivamente ho operato un prodotto riga per colonna tra B2MB1 e (-1, 1, 1) (mettendo tale vettore in colonna) per poter trovare le sue coordinate rispetto a B2. IL procedimento è giusto? (Ho rifatto i calcoli più di una volta quindi credo di aver sbagliato qualcosa dal punto di vista teorico)
Grazie in anticipo,
Nicolò.
Calcolare le coordinate di (-1, 1, 1 ) rispetto alla base B2 di R^3 rispetto alla quale risulta
(1, 1, 2) = (-2, 1, 1)B2
(-1, 0, 1)= (1, 0, 1)B2
(-1, 1, 0)= (1, 1, 2)B2
Il risultato è: (3/4, 1, 9/4)B2
Vi illustro il mio ragionamento:
Ho determinato la matrice di passaggio da B1 a B0 (base canonica) che indicherò con B0MB1 mettendo in colonna i vettori
( 1, 1, 2), (-1, 0, 1), (-1, 1, 0).
In modo analogo ho determinato B0MB2.
Per poter determinare la matrice di passaggio B2MB1 ho invertito B0MB2 in modo che B2MB0 * B0MB1 = B2MB1.
Successivamente ho operato un prodotto riga per colonna tra B2MB1 e (-1, 1, 1) (mettendo tale vettore in colonna) per poter trovare le sue coordinate rispetto a B2. IL procedimento è giusto? (Ho rifatto i calcoli più di una volta quindi credo di aver sbagliato qualcosa dal punto di vista teorico)
Grazie in anticipo,
Nicolò.
Risposte
Se scrivi le formule senza l'adeguata sintassi [tex], avrai sempre scarse possibilità che qualcuno ti risponda ...
Sia come sia, il tuo risultato è esatto [ammesso che io abbia interpretato bene ciò che hai scritto ! ].
Un procedimento senza l'uso di matrici di cambiamento di base può essere il seguente.
Se si esprime il vettore $(-1,1,1)$ in funzione dei vettori iniziali, con qualche facile calcolo si trova che :
$(-1,1,1)=1/4(1,1,2)+2/4(-1,0,1)+3/4(-1,1,0)$
E passando alla base $B_2$:
$(-1,1,1)_{B_2}=1/4(1,1,2)_{B_2}+2/4(-1,0,1)_{B_2}+3/4(-1,1,0)_{B_2}$
Ovvero :
$(-1,1,1)_{B_2}=1/4(-2,1,1)+2/4(1,0,1)+3/4(1,1,2)=(3/4,1,9/4) $
Sia come sia, il tuo risultato è esatto [ammesso che io abbia interpretato bene ciò che hai scritto ! ].
Un procedimento senza l'uso di matrici di cambiamento di base può essere il seguente.
Se si esprime il vettore $(-1,1,1)$ in funzione dei vettori iniziali, con qualche facile calcolo si trova che :
$(-1,1,1)=1/4(1,1,2)+2/4(-1,0,1)+3/4(-1,1,0)$
E passando alla base $B_2$:
$(-1,1,1)_{B_2}=1/4(1,1,2)_{B_2}+2/4(-1,0,1)_{B_2}+3/4(-1,1,0)_{B_2}$
Ovvero :
$(-1,1,1)_{B_2}=1/4(-2,1,1)+2/4(1,0,1)+3/4(1,1,2)=(3/4,1,9/4) $
Grazie mille, molto più semplice. La prossima volta scriverò come si deve 
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