Applicazione Lineare e Matrice associata
Salve ragazzi in questi giorni ho avuto compito di geometria e uno degli esercizi che ho svolto per la prof. non aveva ragione di esistere, questo è il testo:
sia \(\displaystyle f:R^{3}\rightarrow R^{4} \) l'applicazione lineare definita da
\(\displaystyle f(\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}h\\ h \\h+1\\ h-1\end{pmatrix}, f(\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}h+1\\ h+1 \\h+1\\ h-1\end{pmatrix}, f(\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 1\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}h+1\\ h+2 \\h+1\\ h+2\end{pmatrix}. \)
Determinare la matrice associata ad f rispetto alle base canoniche di R³ e R⁴.
Ho proceduto costruendo la seguente matrice \(\displaystyle \begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&1\\0&1&1\end{pmatrix} \) e uguagliandola ai 3 vettori: \(\displaystyle \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \), \(\displaystyle \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} \), \(\displaystyle \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \) trovandomi le relative soluzioni con cui andare a costruire i vettori della matrice associata.
Quindi per esempio nel primo caso:
\(\displaystyle \begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \)
da qui mi sono trovato (x,y,z), successivamente ho moltiplicato i coefficienti delle soluzioni per i relativi vettori di R⁴ e mi sono trovato il primo vettore della matrice associata.
sia \(\displaystyle f:R^{3}\rightarrow R^{4} \) l'applicazione lineare definita da
\(\displaystyle f(\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}h\\ h \\h+1\\ h-1\end{pmatrix}, f(\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}h+1\\ h+1 \\h+1\\ h-1\end{pmatrix}, f(\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 1\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}h+1\\ h+2 \\h+1\\ h+2\end{pmatrix}. \)
Determinare la matrice associata ad f rispetto alle base canoniche di R³ e R⁴.
Ho proceduto costruendo la seguente matrice \(\displaystyle \begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&1\\0&1&1\end{pmatrix} \) e uguagliandola ai 3 vettori: \(\displaystyle \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \), \(\displaystyle \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} \), \(\displaystyle \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \) trovandomi le relative soluzioni con cui andare a costruire i vettori della matrice associata.
Quindi per esempio nel primo caso:
\(\displaystyle \begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \)
da qui mi sono trovato (x,y,z), successivamente ho moltiplicato i coefficienti delle soluzioni per i relativi vettori di R⁴ e mi sono trovato il primo vettore della matrice associata.
Risposte
aspé un momento..
tu hai un'applicazione lineare che va $ RR^3 \to RR^4 $ per cui avrai una matrice $ 4xx 3 $
Tu hai le immagini $ f(((1),(1),(0)))=... $ e poi via via le altre..
il nostro Obiettivo: determinare le immagini $ f(e_1), f(e_2), f(e_3) $
perché conoscendo le immagini dei vettori della base canonica, che immaginiamo come vettori colonna, possiamo scrivere immediatamente la matrice associata all'applicazione lineare.
che poi vedo che hai anche dei parametri..sarà dura!
tu hai un'applicazione lineare che va $ RR^3 \to RR^4 $ per cui avrai una matrice $ 4xx 3 $
Tu hai le immagini $ f(((1),(1),(0)))=... $ e poi via via le altre..
il nostro Obiettivo: determinare le immagini $ f(e_1), f(e_2), f(e_3) $
perché conoscendo le immagini dei vettori della base canonica, che immaginiamo come vettori colonna, possiamo scrivere immediatamente la matrice associata all'applicazione lineare.
che poi vedo che hai anche dei parametri..sarà dura!
Per capirci meglio vi posto il procedimento da dove ero arrivato a spiegare prima:
mi avvalgo della condizione di linearità per procedere come segue
\(\displaystyle \begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \)
Da qui trovo x=0, y=1, z=-1
quindi
\(\displaystyle e_{1}=yf\left ( v_{2} \right )+zf\left ( v_{3} \right )=f\left ( v_{2} \right )-f\left ( v_{3} \right )=\begin{pmatrix}h+1\\h+1\\h+1\\h+1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}h+1\\h+2\\h+1\\h+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-1\\0\\-1\end{pmatrix} \)
Procedo analogamente con e2 ed e3 per ottenere dunque la matrice associata
mi avvalgo della condizione di linearità per procedere come segue
\(\displaystyle \begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \)
Da qui trovo x=0, y=1, z=-1
quindi
\(\displaystyle e_{1}=yf\left ( v_{2} \right )+zf\left ( v_{3} \right )=f\left ( v_{2} \right )-f\left ( v_{3} \right )=\begin{pmatrix}h+1\\h+1\\h+1\\h+1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}h+1\\h+2\\h+1\\h+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-1\\0\\-1\end{pmatrix} \)
Procedo analogamente con e2 ed e3 per ottenere dunque la matrice associata
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo