Dubbio su esercizio su proiezione ortogonale.
Caio a tutti, premetto che il risultato è corretto.
Vi scrivo il testo dell'esercizio:
Sia U il sottospazio di R^4 generato dai vettori \(\displaystyle (1,0,0,1),(-1,0,1,0),(-2,1,0,0),(0,0,1,1) \) e sia PU da R^4 a R^4 l'operatore di proiezione ortogonale su U. Calcolare la matrice rappresentativa \(\displaystyle M^{E}_{E} (PU) \) di PU rispetto alla base canonica E
0)
Ora io ,come faccio di solito, ho utilizzato il prodcedimento di Gram-Schmidt su U e ottengo:
\(\displaystyle W_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} (1,0,0,1) \)
\(\displaystyle W_{2} = \frac{1}{\sqrt{6}} (-1,0,2,1) \)
\(\displaystyle W_{3} = \frac{1}{\sqrt{21}} (-2,3,-2,2) \)
\(\displaystyle W_{4} = (0,0,0,0) \rightarrow \) il vettore nullo non viene considerato.
1)
Ora trovo la rappresentazione cartesiana di U, quindi mettendo in colonna i vettori \(\displaystyle (1,0,0,1),(-1,0,1,0),(-2,1,0,0),(0,0,1,1) \) con le relative componenti \(\displaystyle x,y,z,t \) , trovo: \(\displaystyle x+2y+z-t = 0 \)
2)
\(\displaystyle \frac{x+2y+z-t}{7} (1,2,1,-1) \) dove il numero 7 è dato da \(\displaystyle 1^{2} + 2^{2} + 1^{2} + 1^{2} \) ossia i coefficienti della rappresentazione cartesiana al quadrato.
3)
\(\displaystyle (x,y,z,t) - ( \frac{x+2y+z-t}{7},\frac{2x+4y+2z-2t}{7},\frac{x+2y+z-t}{7},\frac{-x-2y-z+t}{7}) \)
Questo si ottiene moltiplicando ogni coefficiente della rappresentazioen cartesiana per (1,2,1,-1)
4)
Dopo aver fatto qualche calcolo si arriva a:
\(\displaystyle \frac{6x-2y-z+t}{7},\frac{-2x+3y-2z+2t}{7},\frac{-x-2y+6z+t}{7},\frac{x+2y+z+6t}{7} \)
E quindi:
\(\displaystyle M^{E}_{E} (PU) = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 6 & -2 & -1 & 1 \\ -2 & 3 & -2 & 2\\ -1 & -2 & 6 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 6\end{bmatrix} \)
Quindi la matrice è giusta. La mia domanda è: Perchè bisogna usare prima Gram-Schmidt e ortogonalizzare i vettori? In questo caso è una perdita di tempo. E' stato un caso che è venuta la matrice o si fa sempre così?
Grazie della disponibilità.
Vi scrivo il testo dell'esercizio:
Sia U il sottospazio di R^4 generato dai vettori \(\displaystyle (1,0,0,1),(-1,0,1,0),(-2,1,0,0),(0,0,1,1) \) e sia PU da R^4 a R^4 l'operatore di proiezione ortogonale su U. Calcolare la matrice rappresentativa \(\displaystyle M^{E}_{E} (PU) \) di PU rispetto alla base canonica E
0)
Ora io ,come faccio di solito, ho utilizzato il prodcedimento di Gram-Schmidt su U e ottengo:
\(\displaystyle W_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} (1,0,0,1) \)
\(\displaystyle W_{2} = \frac{1}{\sqrt{6}} (-1,0,2,1) \)
\(\displaystyle W_{3} = \frac{1}{\sqrt{21}} (-2,3,-2,2) \)
\(\displaystyle W_{4} = (0,0,0,0) \rightarrow \) il vettore nullo non viene considerato.
1)
Ora trovo la rappresentazione cartesiana di U, quindi mettendo in colonna i vettori \(\displaystyle (1,0,0,1),(-1,0,1,0),(-2,1,0,0),(0,0,1,1) \) con le relative componenti \(\displaystyle x,y,z,t \) , trovo: \(\displaystyle x+2y+z-t = 0 \)
2)
\(\displaystyle \frac{x+2y+z-t}{7} (1,2,1,-1) \) dove il numero 7 è dato da \(\displaystyle 1^{2} + 2^{2} + 1^{2} + 1^{2} \) ossia i coefficienti della rappresentazione cartesiana al quadrato.
3)
\(\displaystyle (x,y,z,t) - ( \frac{x+2y+z-t}{7},\frac{2x+4y+2z-2t}{7},\frac{x+2y+z-t}{7},\frac{-x-2y-z+t}{7}) \)
Questo si ottiene moltiplicando ogni coefficiente della rappresentazioen cartesiana per (1,2,1,-1)
4)
Dopo aver fatto qualche calcolo si arriva a:
\(\displaystyle \frac{6x-2y-z+t}{7},\frac{-2x+3y-2z+2t}{7},\frac{-x-2y+6z+t}{7},\frac{x+2y+z+6t}{7} \)
E quindi:
\(\displaystyle M^{E}_{E} (PU) = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 6 & -2 & -1 & 1 \\ -2 & 3 & -2 & 2\\ -1 & -2 & 6 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 6\end{bmatrix} \)
Quindi la matrice è giusta. La mia domanda è: Perchè bisogna usare prima Gram-Schmidt e ortogonalizzare i vettori? In questo caso è una perdita di tempo. E' stato un caso che è venuta la matrice o si fa sempre così?
Grazie della disponibilità.
Risposte
In generale la proiezione di un vettore su uno spazio (U nel tuo caso), la puoi calcolare con lo sviluppo di Fourier, valido solo per basi ortogonali.
Potevi anche evitare di trovare la forma cartesiana di U
Potevi anche evitare di trovare la forma cartesiana di U
Ah pensavo quello si dovesse fare per forza, ora vado a vedere Fourier.
Grazie
Grazie
Di nulla 
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