Campi invarianti a sinistra
Buonasera a tutti! Sto provando a capire chi sono i campi vettoriali invarianti a sinistra per $G=RR_{>0}$. Ho pensato di fare così:
In $RR_{>0}$ un campo vettoriale in un punto p è del tipo $X_p=a(p)\partial/\{partial x}|_{p}$ con $a \in C^{infty}$.
Fissiamo un punto $p_0>0$ e consideriamo il diffeomorfismo di traslazione sinistra $L_{p_0}:RR_{>0}->RR_{>0}$ che manda $p$ in $p_0*p$. Allora dobbiamo cercare i campi tali che $X_{p_0*p}=(DL_{p0})(X_p)$.
Allora $X_{p_0*p}=a(p_0*p)\partial/{\partial x} |_{pp_0}$ e $(DL_{p0})(X_p)=(X_p o L_{p_0})'=p_0*(a'(p_0*p)\partial/{\partial x} |_{p_0*p}+a(p_0*p)\partial^2/{\partial x}^2 |_{p_0*p})$.
Quindi devo cercare i campi tali che $a(p_0*p)\partial/{\partial x} |_{p_0*p} =p_0*(a'(p_0*p)\partial/{\partial x}|_{p_0*p}+a(p_0*p)\partial^2/{\partial x}^2 |_{p_0*p})$.
Ma più in là di così non riesco ad andare..Sto sbagliando procedimento? Trovo difficoltà anche a capire intuitivamente chi sono i campi invarianti di $RR$.
Grazie anticipatamente!
In $RR_{>0}$ un campo vettoriale in un punto p è del tipo $X_p=a(p)\partial/\{partial x}|_{p}$ con $a \in C^{infty}$.
Fissiamo un punto $p_0>0$ e consideriamo il diffeomorfismo di traslazione sinistra $L_{p_0}:RR_{>0}->RR_{>0}$ che manda $p$ in $p_0*p$. Allora dobbiamo cercare i campi tali che $X_{p_0*p}=(DL_{p0})(X_p)$.
Allora $X_{p_0*p}=a(p_0*p)\partial/{\partial x} |_{pp_0}$ e $(DL_{p0})(X_p)=(X_p o L_{p_0})'=p_0*(a'(p_0*p)\partial/{\partial x} |_{p_0*p}+a(p_0*p)\partial^2/{\partial x}^2 |_{p_0*p})$.
Quindi devo cercare i campi tali che $a(p_0*p)\partial/{\partial x} |_{p_0*p} =p_0*(a'(p_0*p)\partial/{\partial x}|_{p_0*p}+a(p_0*p)\partial^2/{\partial x}^2 |_{p_0*p})$.
Ma più in là di così non riesco ad andare..Sto sbagliando procedimento? Trovo difficoltà anche a capire intuitivamente chi sono i campi invarianti di $RR$.
Grazie anticipatamente!
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