Esercizio topologia spazio quoziente

[gaietta.c90]

Ciao a tutti!! Ho un problema enorme con un esercizio di Topologia.
Sia X lo spazio topologico che si ottiene da $ mathbb(R) $ collassando a un punto l'insieme $ mathbb(Z) $ .
Dire se X è Hausdorff.

Allora, X è $ mathbb(R) $ con la relazione d'equivalenza $ ~ $ : x $ ~ $ y $ hArr $ x=y oppure x,y $ in mathbb(Z) $
Però non so da dove cominciare!! Qualcuno può darmi qualche dritta?
Grazie mille!!

[j18eos]

Hai due possibilità: o trovi una rappresentazione di quello spazio quoziente (usa l'immaginazione), oppure ti fai il calcolo a mano (che non è difficile ma utile)!

Nella seconda eventualità: inizia col supporre \(\displaystyle x\not\sim y\), allora...

[gaietta.c90]

x≁y $ rArr $ x,y $ in $ $ mathbb(R-Z) $ e x $ != $ y

Perciò X sarà composto da tutti gli elementi $ in $ a $ mathbb(R - Z) $ (che si identificano solo con loro stessi quindi [x]={x} se x $ in mathbb(R-Z) $) e da {$ ** $} che è la classe di equivalenza di $ mathbb(Z) $ (sarà composta perciò da tutti gli x $ in $ $ mathbb(Z) $)
Giusto?
Però poi quì mi blocco..

[j18eos]

Non è vero: fissato \(\displaystyle x\in\mathbb{R}\) ottieni che:
\[
[x]_{\sim}=\{x+k\in\mathbb{R}\mid k\in\mathbb{Z}\}
\]
ti torna?