Sottomatrice quadrata non singolare

[Samuele141]

Buonasera a tutti, sto preparando l'esame di geometria che dovrò affrontare tra pochissimo, e mi sono imbattuto in questo dilemma:

Avendo una matrice A di ordine $ k xx n $ , ovviamente con $ k != n $, e volendo determinare il suo rango, se considero una sottomatrice B contenuta in A quadrata caratterizzata da colonne linearmente indipendenti, ovvero dotata di determinante diverso da 0, le colonne della matrice A che contengono le colonne di B sono anch'esse linearmente indipendenti.

Facendo esercizi oggi mi sono imbattuto in una matrice di questo tipo:

$ ( ( 1 , h ),( h , 1 ),( 0 , 1+h ) ) $

il suo rango massimo ovviamente sarà 2, allora ho considerato la seguente sottomatrice di ordine due:

$ ( ( 1 , h ),( h , 1 ) ) $

e ponendo il suo determinante diverso da zero ottengo:

$ h^2 = 1 $

e quindi:

$ h = +- 1 $

Per cui, per $ h != +- 1 $ la sottomatrice B ha colonne linearmente indipendenti e, siccome queste sono contenute nella matrice A, anche queste dovrebbero essere linearmente indipendenti.

Ma, ad esempio, per h = 1 si ha la matrice:

$ ( ( 1 , 1 ),( 1 , 1 ),( 0 , 2 ) ) $

che ha colonne linearmente indipendenti, quindi ciò non vale per h = 1.

Allora ho notato che se considero la sottomatrice:

$ ( ( 1 , h ),( 0 , 1+h )) $

ottengo che la matrice ha determinante diverso da 0 solo quando $ h = -1 $ , infatti per ogni $ h != -1 $ la matrice A ha tutte le colonne linearmente indipendenti.

Ora vi chiedo, come mi devo comportare in casi come questo? Cosa mi consigliate?

Grazie e buona serata!

[Silente]

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