Immagine di un applicazione
Salve.
Ho un problema nel risolvere un punto di questo esercizio:
Data $ A=( ( 3 , 1 , 7 ),( -2 , 1 , -8 ),( 1 , -3, 9) ) $
trovare equazioni parametriche per $ X=ker(f_A) $ e cartesiane per $ Y=Im(f_a) $.
Ho trovato X. Per farlo ho risolto il solito sistema $ Ax=0 $ notando che $ rankA=2 $ e quindi il sistema ha $ oo^1 $ soluzioni.
Quindi ho
$ (( 3 , 1 , 7 ),( -2 , 1 , -8 ),( 1 , -3, 9) )( ( x_1 ),( x_2 ),( x_3 ) ) = ( ( 0 ),( 0 ),( 0) ) $
introduco il parametro $ s=x_3 $ e quindi viene che l'insieme delle soluzioni è dato da $ Sol=(( ( 3 ),( 2 ),( 1 ) ) s , s in R) $
e quindi $ X=ker(f_A)=Span(-3x_1+2x_2+x_3) $
giusto?
ora però non ho capito cosa si intende per equazioni cartesiane per $ Y=Im(f_A) $.
Il rango di $ A $ è 2, quindi trovo le basi dell'immagine, ma le equazioni cartesiane per l'immagine?
Qualche suggerimento?
Grazie in anticipo
Ho un problema nel risolvere un punto di questo esercizio:
Data $ A=( ( 3 , 1 , 7 ),( -2 , 1 , -8 ),( 1 , -3, 9) ) $
trovare equazioni parametriche per $ X=ker(f_A) $ e cartesiane per $ Y=Im(f_a) $.
Ho trovato X. Per farlo ho risolto il solito sistema $ Ax=0 $ notando che $ rankA=2 $ e quindi il sistema ha $ oo^1 $ soluzioni.
Quindi ho
$ (( 3 , 1 , 7 ),( -2 , 1 , -8 ),( 1 , -3, 9) )( ( x_1 ),( x_2 ),( x_3 ) ) = ( ( 0 ),( 0 ),( 0) ) $
introduco il parametro $ s=x_3 $ e quindi viene che l'insieme delle soluzioni è dato da $ Sol=(( ( 3 ),( 2 ),( 1 ) ) s , s in R) $
e quindi $ X=ker(f_A)=Span(-3x_1+2x_2+x_3) $
giusto?
ora però non ho capito cosa si intende per equazioni cartesiane per $ Y=Im(f_A) $.
Il rango di $ A $ è 2, quindi trovo le basi dell'immagine, ma le equazioni cartesiane per l'immagine?
Qualche suggerimento?
Grazie in anticipo
Risposte
@Mos,
magari se dici/scrivi anche le basi di \(im(f) \)...! Saluti!
P.S.=Hai provato a cercare sul forum, ci sono mooolti esercizi risolti nei quali si può capire come ricavare cartesiane e parametriche per \( ker(f)\) e \(im(f) \).
"Mos":
Salve.
Ho un problema nel risolvere un punto di questo esercizio:
Data $ A=( ( 3 , 1 , 7 ),( -2 , 1 , -8 ),( 1 , -3, 9) ) $
trovare equazioni parametriche per $ X=ker(f_A) $ e cartesiane per $ Y=Im(f_a) $.
Ho trovato X. Per farlo ho risolto il solito sistema $ Ax=0 $ notando che $ rankA=2 $ e quindi il sistema ha $ oo^1 $ soluzioni.
Quindi ho
$ (( 3 , 1 , 7 ),( -2 , 1 , -8 ),( 1 , -3, 9) )( ( x_1 ),( x_2 ),( x_3 ) ) = ( ( 0 ),( 0 ),( 0) ) $
introduco il parametro $ s=x_3 $ e quindi viene che l'insieme delle soluzioni è dato da $ Sol=(( ( 3 ),( 2 ),( 1 ) ) s , s in R) $
e quindi $ X=ker(f_A)=Span(-3x_1+2x_2+x_3) $
giusto?
ora però non ho capito cosa si intende per equazioni cartesiane per $ Y=Im(f_A) $.
Il rango di $ A $ è 2, quindi trovo le basi dell'immagine, ma le equazioni cartesiane per l'immagine?
Qualche suggerimento?
Grazie in anticipo
magari se dici/scrivi anche le basi di \(im(f) \)...! Saluti!
P.S.=Hai provato a cercare sul forum, ci sono mooolti esercizi risolti nei quali si può capire come ricavare cartesiane e parametriche per \( ker(f)\) e \(im(f) \).
sisi infatti hai ragione... ho risolto, scusami e grazie
@Mos,
figurati
è sempre cosa buona risolvere autonomamente i proprio dubbi.. 
per qualsiasi altra cosa nn esitare a chiedere!
Saluti
"Mos":
sisi infatti hai ragione... ho risolto, scusami e grazie
figurati
è sempre cosa buona risolvere autonomamente i proprio dubbi.. per qualsiasi altra cosa nn esitare a chiedere!Saluti
grazie mille, posso quindi mica approfittare della tua disponibilità per chiederti l'ultimo punto dell'esercizio?
Mi chiede la matrice associata ad una proiezione rispetto una decomposizione in somma diretta..fammi sapere se posso che ti spiego meglio..
grazie infinite
Mi chiede la matrice associata ad una proiezione rispetto una decomposizione in somma diretta..fammi sapere se posso che ti spiego meglio..
grazie infinite
allora il testo è:
determinare la matrice della proiezione su $ Y $ associata alla decomposizione $ R^3=Xo+ Y $.
dove $ X,Y $ sono i sottospazi che ho trovato nei punti precedenti e cioè
$ X=span(-2e_1+2e_2+e_3) $ e $ Y={ x inR^3 : x_1+2x_2+x_3=0} $.
solitamente in questo tipo di esercizi mi veniva dato il vettore di cui fare la proiezione, che data la somma diretta potevo scriverlo in modo unico come c.l. dei vettori dei due sottospazi, quindi trovavo la proiezione richiesta; ti faccio un esempio:
dato $ R^2=span(4e_1-3e_2)o+ span(2e_1-2e_2) $ calcolare la proiezione di $ 5e_1-6e_2 $ sul primo addendo rispetto alla decomposizione data.dato che la somma dei due sottospazi è diretta scrivevo il vettore $ ( ( 5 ),( -6 ) ) $ come:
$ a( (4 ),( -3 ) ) +b( ( 2 ),( -2) ) $ quindi dal sistemino mi trovavo $ a $ e quindi la proiezione che veniva richiesta era
$ a( (4 ),( -3 ) ) $ in questo esempio $ a=-1 $ quindi $ p=( ( -4 ),( 3 ) ) $ .
ora però non mi è chiaro questo esercizio perché non specifica di quali vettori bisogna fare la proiezione.
qualche idea? mi basta anche una delucidazione
grazie veramente
determinare la matrice della proiezione su $ Y $ associata alla decomposizione $ R^3=Xo+ Y $.
dove $ X,Y $ sono i sottospazi che ho trovato nei punti precedenti e cioè
$ X=span(-2e_1+2e_2+e_3) $ e $ Y={ x inR^3 : x_1+2x_2+x_3=0} $.
solitamente in questo tipo di esercizi mi veniva dato il vettore di cui fare la proiezione, che data la somma diretta potevo scriverlo in modo unico come c.l. dei vettori dei due sottospazi, quindi trovavo la proiezione richiesta; ti faccio un esempio:
dato $ R^2=span(4e_1-3e_2)o+ span(2e_1-2e_2) $ calcolare la proiezione di $ 5e_1-6e_2 $ sul primo addendo rispetto alla decomposizione data.dato che la somma dei due sottospazi è diretta scrivevo il vettore $ ( ( 5 ),( -6 ) ) $ come:
$ a( (4 ),( -3 ) ) +b( ( 2 ),( -2) ) $ quindi dal sistemino mi trovavo $ a $ e quindi la proiezione che veniva richiesta era
$ a( (4 ),( -3 ) ) $ in questo esempio $ a=-1 $ quindi $ p=( ( -4 ),( 3 ) ) $ .
ora però non mi è chiaro questo esercizio perché non specifica di quali vettori bisogna fare la proiezione.
qualche idea? mi basta anche una delucidazione
grazie veramente
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