Maurer-Cartan sulla Grassmanniana
Ho incontrato una definizione delle forme di Maurer-Cartan per la Grassmanniana un po' inusuale e avrei bisogno di un chiarimento.
Sia $G(m,n)$ la Grassmanniana degli $m$ piani in uno spazio vettoriale complesso $V$ di dimensione (complessa) $N = n+m$. E' noto che, come spazio omogeneo sotto l'azione per coniugio di $U(N)$, si ha (non e' un quoziente di gruppi!):
\[
G(m,n) = U(N) / (U(n) \times U(m)).
\]
Percio' ogni forma differenziale su $G(m,n)$ definisce via pull-back una forma su $U(N)$. Definiamo una base di $End(V)$ come segue: $e_{ij}$ e' la matrice con $1$ all'entrata $ij$ e zero nelle altre; indichiamo con $\bar{e}_{ij} = -e_{ji}$. Sia $B_0 = \{e_{ij}, \bar{e}_{ij} : i \leq m < j\}$ (quindi quelle matrici che hanno $1$ nel blocco rettangolare nord-est oppure quelle che hanno $-1$ nel blocco rettangolare sudovest). Completiamo $B_0$ a $B$, base di $End(V)$. Consideriamo la base duale $B^*$ e indichiamo con $\omega_{ij}$ e $\bar{\omega}_{ij}$ le forme duali a quelle di $B_0$.
Queste $\omega$ sono le forme di Maurer Cartan. E' facile osservare che abbiamo una forma su $G(m,n)$ il suo pullback e' una forma su $U(N)$ che e' $U(n) \times U(m)$ invariante, e percio' vi compaiono solo le $\omega$ (con o senza bar) si Maurer-Cartan.
Intanto, ha senso tutto questo?
Quello che mi turba e' quanto segue: la forma su $G(m,n)$ e' di tipo $(p,q)$ se e solo se nel pull-back compaiono $p$ forme $\omega$ e $q$ forme $\bar{\omega}$. Perche'???
Sia $G(m,n)$ la Grassmanniana degli $m$ piani in uno spazio vettoriale complesso $V$ di dimensione (complessa) $N = n+m$. E' noto che, come spazio omogeneo sotto l'azione per coniugio di $U(N)$, si ha (non e' un quoziente di gruppi!):
\[
G(m,n) = U(N) / (U(n) \times U(m)).
\]
Percio' ogni forma differenziale su $G(m,n)$ definisce via pull-back una forma su $U(N)$. Definiamo una base di $End(V)$ come segue: $e_{ij}$ e' la matrice con $1$ all'entrata $ij$ e zero nelle altre; indichiamo con $\bar{e}_{ij} = -e_{ji}$. Sia $B_0 = \{e_{ij}, \bar{e}_{ij} : i \leq m < j\}$ (quindi quelle matrici che hanno $1$ nel blocco rettangolare nord-est oppure quelle che hanno $-1$ nel blocco rettangolare sudovest). Completiamo $B_0$ a $B$, base di $End(V)$. Consideriamo la base duale $B^*$ e indichiamo con $\omega_{ij}$ e $\bar{\omega}_{ij}$ le forme duali a quelle di $B_0$.
Queste $\omega$ sono le forme di Maurer Cartan. E' facile osservare che abbiamo una forma su $G(m,n)$ il suo pullback e' una forma su $U(N)$ che e' $U(n) \times U(m)$ invariante, e percio' vi compaiono solo le $\omega$ (con o senza bar) si Maurer-Cartan.
Intanto, ha senso tutto questo?
Quello che mi turba e' quanto segue: la forma su $G(m,n)$ e' di tipo $(p,q)$ se e solo se nel pull-back compaiono $p$ forme $\omega$ e $q$ forme $\bar{\omega}$. Perche'???
Risposte
"Pappappero":Non ho ben capito dove sono definite le forme differenziali!? Non dovresti considerarle a partire da \(\displaystyle G_{\mathbb{C}}(m;n)\)?
...Sia $ B_0 = \{e_{ij}, \bar{e}_{ij} : i \leq m < j\} $ (quindi quelle matrici che hanno $ 1 $ nel blocco rettangolare nord-est oppure quelle che hanno $ -1 $ nel blocco rettangolare sudovest). Completiamo $ B_0 $ a $ B $, base di $ End(V) $. Consideriamo la base duale $ B^* $ e indichiamo con $ \omega_{ij} $ e $ \bar{\omega}_{ij} $ le forme duali a quelle di $ B_0 $...
A quel che ho capito le $\omega$ sono forme su $U(N)$. Data una forma $\eta$ qualsiasi su $G(m,n)$, si va a vedere cosa succede facendo il pullback di $\eta$ attraverso la proiezione $\pi$ di $U(N)$ su $G(m,n)$. Siccome \(\pi^*\eta\) sara' $U(n) \times U(m)$ equivariante, solo le $\omega$ (nel senso solo quelle forme duali i vettori di $B_0$) appariranno nella sua espressione. Percio' si ha qualcosa tipo
\[
\pi^* \eta = \sum f_{a_1,...,a_r,b_1,...,b_s}\omega_{a_1} \wedge ... \wedge \omega_{a_r} \wedge \bar\omega_{b_1} \wedge ... \wedge \bar \omega_{b_s},
\]
dove le $f$ sono funzioni $C^\infty$, mentre \(a_\ell,b_\ell\) sono (ciascuno) una coppia di indici della forma $i,j$.
A pagina 8 di questo si afferma che la forma e' di tipo $(p,q)$ se e solo se in ogni addendo $r=p$ e $s=q$.
\[
\pi^* \eta = \sum f_{a_1,...,a_r,b_1,...,b_s}\omega_{a_1} \wedge ... \wedge \omega_{a_r} \wedge \bar\omega_{b_1} \wedge ... \wedge \bar \omega_{b_s},
\]
dove le $f$ sono funzioni $C^\infty$, mentre \(a_\ell,b_\ell\) sono (ciascuno) una coppia di indici della forma $i,j$.
A pagina 8 di questo si afferma che la forma e' di tipo $(p,q)$ se e solo se in ogni addendo $r=p$ e $s=q$.
Non mi dire nulla: ho già i miei 3 articoli con cui fare a pugni, 2 esami con cui prendermi a schiaffi e 1a tesi di dottorato (non mia) su cui (dico sul serio) piangere! 
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