Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti, volevo chiedervi chiarimenti sul Compact Symplectic Group definito come $Sp(n):=Sp(n;CC)nnU(2n)$. Perché è possibile possibile descriverlo anche come il sottogruppo di $GL(n,H)$ (matrici quaternioniche invertibili) ?
Perché $Sp(n)$ è il gruppo quaternionico unitario?
Infine, nel caso $n=1$, perché $Sp(1)$ coincide con $SU(2)$?
Vi ringrazio in anticipo per la disponibilità.
salve e grazie a anticipatamente a tutti coloro che mi risponderanno. Ho un problema con il seguente esercizio:
Dati due vettori $ \vec a = (-1,1,1)$ e $ \vec b = (2,1,-1)$, determinare il vettore $ \vec c$ tale che sia verificata la seguente relazione $ \vec a$ $ \times $ $ \vec b = \vec b \times \vec c$. verificare che il vettore cos'i ottenuto sia ortogonale ai vettori dati.
Allora io ho provato a risolverlo così:
1- ricavo $ \vec a$ ...
Cosa significa fare la norma della differenza tra 2 vettori? Significa la distanza tra i 2 vettori? Essendo poi la differenza tra 2 vettori ancora un vettore, possiamo dire che è anche la norma /modulo/lunghezza del vettore differenza?
Per favore ho bisogno di qualcuno che mi confermi queste affermazioni, poi eventualmente se volete fare altre considerazioni fare pure
Grazie
Sto studiando algebra lineare alla triennale di economia ma non ho ancora capito quale siano le sue applicazioni nella materia.
Mi è chiara l'applicazione di serie e funzioni, mentre algebra lineare e integrali un po' meno.
Qualcuno saprebbe spiegarmelo?
Buongiorno, l'esercizio in foto è di un test fatto qualche mese fa di geometria e algebra. Tralasciando i primi 3 punti, volevo avere alcune delucidazioni inerente agli ultimi due punti.
Per il sistema, ho semplicemente svolto il sistema applicando il calcolo del rango delle matrici complete e incomplete e mi sono scritta una soluzione che aveva come parametro a. Facendo i calcoli, se li ho fatti bene, mi esce che per a diverso da 1, il sistema è compatibile , altrimenti ...
Ciao a tutti!
Sto preparando l'esame di algebra lineare e mi è sorto un dubbio riguardante l'ortogonalizzazione. So che nel caso di prodotto scalare definito positivo una base ortogonale esiste e, partendo da una qualsiasi base, è possibile trovarla applicando Gram-Schmidt.
Nel caso di prodotto non definito positivo, invece, come si approccia il problema? A lezione abbiamo dimostrato che ogni spazio vettoriale diverso da zero e di dimensione finita, dotato di un prodotto scalare, ammette una ...
Ciao a tutti!
Ho un problema con un esercizio che non riesco a risolvere, spero che qualcuno riesca a darmi una mano.
Vi copio il testo:
Sia $ R^(m,n) $ lo spazio vettoriale delle matrici m x n a coefficienti reali. Si consideri l’applicazione lineare
f : $ R^(2,2) $ −> $ R^(2,3) $ tale che f
$ ( ( a , b ),( c , d ) ) =( ( a , b , a ),( c , d , c ) ) $
(a) Scrivere la matrice associata ad f rispetto alle basi standard
$ ( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) ,( ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) ) ,( ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) ) ,( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $
di $ R^(2,2) $ e
$ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ), ( ( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ),( ( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) ),( ( 0 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ) ),( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) ),( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ), $
di ...
Ciao ragazzi, avrei bisogno di un aiutino per la risoluzione di questo esercizio:
> Un punto P su una sfera può essere individuato da due coordinate angolari ($\phi$; $\theta$ ); la coordinata $\phi$ (o "latitudine") ha lo zero nel Polo Nord e varia nell’intervallo [0; $\pi$]; la coordinata $\theta$ (o "longitudine") varia nell’intervallo [0; 2$\pi$]:
1) Sulla sfera di raggio R = 1 è data la curva $\theta$ = ...
Ciao a tutti!
Ho un problema con un esercizio che non riesco a risolvere, spero che qualcuno riesca a darmi una mano.
Vi copio il testo:
Sia R[x]3 lo spazio vettoriale dei polinomi di grado al più 3 in una variabile a coefficienti reali. Si consideri
l’endomorfismo f:R[x]3 -> R[x]3 definito da
$ f(a+bx+cx^2+dx^3)=(d^2)/(dx^2) (a+bx+cx^2+dx^3) $
(a) Stabilire, motivando adeguatamente la risposta, quale tra
$ A=( ( 2c , 6d , 0 , 0 ),( 0 , 2c , 6d , 0 ),( 0 , 0 , 2c , 6d ),( 6d , 0 , 0 , 2c ) ) $ $ B=( ( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 2 ),( 6 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $ $ C=( ( 6dx , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 2c ) ) $ $ D=( ( 0 , 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 6 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
Come sempre ringrazio chi avrà voglia di ...
Ciao a tutti!
Ho un problema con un esercizio che non riesco a risolvere, spero che qualcuno riesca a darmi una mano.
Vi copio il testo:
Sia f : $ R^3 $ $ rarr $ $ R^3 $ l’applicazione lineare definita dalle seguenti condizioni:
• (1, 1, 0) è autovettore per f relativo all’autovalore 1;
• (0, 1, 0) $ in $ Ker(f);
• f(0, 1, 2) = (1, 2, 0).
(a) Scrivere la matrice di f rispetto alla base B = ((1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 2)) di ...
Buonasera, ora non ricordo con esattezza se ho già pubblicato questo topic, ad ogni modo non mi risulta chiaro una proposizione che riguarda le matrici invertibili.
Sia $A in M_(n,m)(mathbb{K})$ indico con tale simbolo una matrice rettangolare con $n$ righe e $m$ colonne.
Sia $A in M_(n,m)(mathbb{K})$ , considero l'applicazione lineare $f_A: x in mathbb{K^m} to f_A(x)=Ax in mathbb{K^n}$
Proposizione:
$A in M_(n,m)(mathbb{K}).$
i) $exists B in M_(m,n)(mathbb{K})\: AB=I_n <=>$ le colonne di $A$ generano $mathbb{K^n}$
ii) ...
Sappiamo che una matrice simmetrica è semidefinita positiva se e solo se ha tutti gli autovalori non negativi.
Se moltiplichiamo due matrici semidefinite positive $A$ e $B$ dovremmo allora ottenere una matrice $AB$ avente tutti gli autovalori non negativi, giusto?
Ma allora posso dedurre che il prodotto di matrici semidefinite positive è una matrice semidefinita positiva?
Salve,
Mi è capitata una certa domanda che pone diversi quesiti sul teorema spettrale.
Sia A una matrice quadrata simmetrica 3x3. Sapendo che -3 e 4 sono gli unici autovalori reali di A, e che per l'autospazio $ nu $ 4 = Span $ ( ( 1 ),( 2 ),( 1 ) ) $ .
Ok che esiste una base ortogonale formata da autovettori di A. Però poi mi propone delle affermazioni un po' più intricate, ho provato a dare risposta.
1) Come faccio a capire che il un vettore , ad esempio $ ( ( 2 ),( -1 ),( 0 ) ) $ , ...
Buona domenica.
Sto studiando il teorema di Laplace dal libro Ciro Ciliberto-Algebra lineare.
In particolare, nel passaggio in cui viene dimostrato che l'applicazione $f:A in M_n(mathbb{K}) to sum_(j=1)^n a_(ji)A_(ji)$ è alternante ci sono due punti che non mi risultano chiari che di seguito riporto.
Per il seguito indico con $A_(ij)$ indico il complemento algebrico di $A$ relativo all'elemento di posto $(i,j)$
invece, con $A^(ij)$ determinante della sottomatrice di ...
Caratterizzare i piani che secano la quadrica Q: x^2+2y^2-2xz-2z-1=0 in una parabola.
Questa parte di esercizio faceva parte di un più ampio esercizio su un fascio di quadriche. Bene le ho classificate tutte con l’uso degli invarianti e per il parametro k=0 ho trovato la quadrica sopra scritta che, secondo i miei calcoli, dovrebbe essere un paraboloide ellittico. Per trovare i piani che la secano in parabole ho studiato la C infinito ponendo t=0 e ho trovato che Q si spezza in due rette ...
Buonasera.
Se considero uno spazio vettoriale $V$ su $mathbb{K}$ tale che $dimV=n$
Sia $f:VtimesV to mathbb{K}$ forma bilineare simmetrica.
Sia $e_1,e_2,...,e_n$ base di $V$
Mi chiedo se considero la seguente definizione
Base $k$ ortogonale.
$(e_1,e_2,...,e_n)$ $k$ ortogonale se $ϕ(e_i,e_j)=0$ per ogni $i<k$ e per ogni $j≠i$
Come faccio a dire che lo spazio vettoriale $V$ ha sempre ...
Buonasera.
Ho un dubbio, se considero uno spazio vettoriale $V$ su $mathbb{R}$ tale che $dimV=n$, inoltre, sia $f:VtimesV to mathbb{R}$ forma bilineare simmetrica, e presa una sua base $R=(v_1,v_2,...,v_n)$ alloraper il teorema di Lagrange esiste un riferimento ortogonale $bar{R}=(e_1,e_2,...,e_n)$ relativo a $f$.e a $R$.
Dunque, posso considerare la matrice associata $f$ nel riferimento $bar{R}$ la quale $f(e_i,e_j)=a_(ij)$. ...
Salve a tutti. Sto provando, per interesse personale, a scrivermi gli assiomi di hilbert della geometria euclidea solida usando la logica (del secondo ordine) e non la teoria degli insiemi. Sono arrivato alla codifica del seguente assioma di collegamento:
se due punti stanno su una retta e giacciono entrambi sullo stesso piano allora tutti i punti della retta giacciono su quel piano
Io ho usato nel mio alfabeto le relazioni:
[list=1] il punto $P$ giace ...
Buongiorno,
stavo leggendo "Analisi matematica 2" di Pagani-Salsa e mi sono imbattuto in una spiegazione della matrice associata ad una applicazione lineare che mi ha lasciato dei dubbi.
Il passaggio incriminato si può trovare nel capitolo 4 sezione 2.2, dove si fanno dei richiami di algebra lineare.
Riporto qui di seguito il ragionamento che gli autori seguono.
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Sia $A: RR^n \to RR^n$ un'applicazione lineare. La rappresentazione di $A$ per mezzo di una ...
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